下麵通過具體例子進行分析和討論，以說明兩種性質不同的數學方法和方式如何在近代微積分形成中相互交融，進而實現數學思想的創新的。

數學家吳文俊先生早在20世紀70年代中期就指出：“到西歐17世紀以後才出現的解析幾何與微積分，乃是通向所謂近代數學的主要的兩大創造，一般認為這些創造純粹是西歐數學的成就。但是中國的古代數學絕不是不起著重大作用（甚至還是決定性的作用）的。”[44]他甚至斷言：“微積分的發明乃是中國式數學戰勝了希臘式數學的產物。”[45]我認為，吳先生的這個觀點是振聾發聵的（不隻是在當時）！它是一個數學家以曆史的眼光對該領域問題長期思考的結果。但是，中國式數學有哪些特征，它表現了怎樣的數學方法和數學認知方式，在微積分方麵又是如何戰勝希臘數學的？這些都是需要進行深入研究的，需要做大量艱苦細致的工作——看看所有權威的有關微積分發展史的數學著作（它們至多隻是少量地提到巴比倫、印度的數學思想，根本就沒有提到中國式數學及其影響），便可想象出這種研究的難度。在這裏，我把這一問題的討論納入數學方法和數學認知方式的分析當中，從板塊認知的角度，把近代微積分理論的創立看作是東西方兩大數學“板塊”相互“碰撞”導致的結果，或者說，是“歐亞數學”（Eurasian mathematics）板塊的構造物，從而真正把微積分的發明看作是“人類精神的卓越勝利”[46]。具體來說，把近代微積分的形成看作是感性經驗與思維抽象、形象類比與邏輯推理、數值計算與幾何證明兩種數學認知方式的交互作用的產物，盡管許多時候我們難以清晰地分清和剝離這樣兩組不同的認識方式和認知方式。下麵我分四部分來論述。

一、兩種不同類型的“微積分的形而上學”：對“無限的恐懼”與對無限的接納

一定的認識論和方法論總是同一定的哲學思考、哲學觀念（特別是本體論方麵的）聯係在一起的。這種哲學思考和哲學觀念涉及世界的無限與有限、連續與間斷、時間與空間、運動與靜止等基本方麵，並在此基礎上形成相應的認識論和方法論。有數學家將它們稱為“微積分的形而上學”（指研究超感覺的、經驗以外對象的哲學）。[47]由於微積分的形而上學對數學微積分的表現形態、認知取向等有著規範和製約的作用，並且人們不能設想某種微積分數學思想與它的微積分形而上學是完全分離開來的，因此，我們考察微積分概念的形成不能不首先考察微積分的形而上學。非常有意味的是，微積分的形而上學在不同的時代、不同的民族都有其獨特的表現形態。而尤以東西方民族之間的差異最為突出。下麵我從一些基本史料出發對這方麵的概念做一些梳理和歸類。

先來看古希臘。研究表明，早期的希臘自然哲學和數學已經接觸到無限（無窮小和無窮大）、不可公度比、連續性等問題，並且形成了一些初步的觀念。例如，自然哲學家阿那克西曼德把“無限者”作為萬物的本原而加以探討。畢達哥拉斯及其學派主張空間的無限性。原子論者德謨克利特試圖以數學原子論的觀點來解決不可公度比問題。他認為凡線段總能無限分割。

然而，“在畢達哥拉斯和德謨克利特以後，希臘幾何中是不大歡迎無限小的”[48]。例如，巴門尼德的學生芝諾（Zeno of Elea）明確否定無限小量。他說：“一個東西如果增加一些並不變大，減少一些並不變小，他便肯定沒有這個東西。”[49]為了論證自己的觀點，他提出的四個著名的疑難，揭露了有限與無限、間斷與連續、相對靜止與絕對運動之間的矛盾。雖然這個疑難具有古希臘式的“辯證法”的味道，卻也使古希臘人對“無窮”一類的概念望而卻步。在柏拉圖那裏，他反對畢達哥拉斯的無限概念和作為具有位置的單元的單子概念以及德謨克利特的原子論。他認為，與其把連續量看作由不可劃分的量的集合所組成，不如認為是由阿那克西曼德的“無限者”的流動所生成。[50]他還把“善”與“惡”同“有限”與“無限”對應起來；“無限”被看作是“惡”的東西。

出於某種折中的意願，亞裏士多德將柏拉圖的無限觀與畢達哥拉斯的無限觀作了比較。他說：“有些人，如畢達哥拉斯派和柏拉圖，把無限看作為自在的實體，而非其他事物的屬性。不過畢達哥拉斯派把無限置於感性事物之列（他們是不把數和感性事物分離開來的），並主張伸到天外的就是無限。而柏拉圖則主張天外無物，理念也不在天外，因為不能說它是在什麽地方的，但是不但在感性事物中而且在理念中都有無限。其次，畢達哥拉斯派把無限者和偶數等同看待，因為偶數在被奇數圍限的情況下，還是賦予事物以無限性。……可是柏拉圖則主張有兩個無限：大和小。”[51]而柏拉圖定了兩個無限，也是因為他認為，在加和減的兩個方向，超過界限並無限地進行下去是可能的。柏拉圖雖然定了兩個無限但沒有用過它們。因為在數裏，在減的方向上沒有無限，因為他認為“數字‘一’是最小的；在加的方向上也沒有無限，因為他認為數字到‘十’為止”。據此，亞裏士多德認為，柏拉圖的無限觀是充滿矛盾的。“‘無限’的真正含義正好與平常大家理解的相反，不是‘此外全無’，而是‘此外永有’。”[52]為擺脫這一困境，亞裏士多德將“無限”區分為“實無限”和“潛無限”兩類。在他看來，由於無限是永遠延伸著的、不可分割開來的獨立部分的東西，因此，無限隻能是潛在的、不斷生成的，隻能是一種假設這樣，亞裏士多德就把實無限的存在完全否定了，而隻限於用無限這個詞去表示一種潛無限。此外，亞裏士多德否定原子論者的不可分量（無論是在物理上或在數學上）觀點。

對此，美國數學史家波耶評論道，亞裏士多德反對最小不可分線段的觀點是出自經驗上的理由；從邏輯學上講，也是無懈可擊的。[53]但是，亞裏士多德將無限區分為實無限和潛無限，這成為後來中世紀經院哲學家在相關問題上爭論不休的根源。由於他強調了現實存在的可理解性和不可超越性，勢必導致在數學中將導數和積分的概念當作超越於可理解之物以上的推斷而加以排斥的傾向，並必將把數學思想局限於直觀上合理的範圍之內。而這個觀點與近代以來對無限小觀點的理解並不一致。有鑒於此，亞裏士多德的這種無限觀被近代特別是19世紀的數學家完全拋棄了。也就是說，亞裏士多德最終也沒能解決無限、極限和連續性一類的問題。出於同樣的心理，“為避免提出直線可無窮延伸，Euclid說一線段（他書中的‘直線’就是指線段）可以按需要加以延伸。從Euclid對平行公理的敘述也可看出他不願涉及無窮大”[54]。由此可看出，在一定的微積分的形而上學指導下，古希臘數學家不能清晰定義無窮小量——無窮小量隻能被看作一個固定的量，而不是一個輔助變量。

與缺乏無限、極限觀念緊密相連的是，希臘人還缺乏連續的、運動的觀念。除了芝諾以“飛矢不動”表達他的鮮明的靜止不動的觀點外，畢達哥拉斯學派的科學和數學也主要是講形式與結構，而不講可變性；倘使將他們的哲學應用於自然界的變化而不是應用於永恒的方麵，他們在解釋運動時就必然要用到芝諾在第三和第四難題中所攻擊的觀點。而要回答芝諾難題還必須要有連續的、運動的概念。但是，希臘哲學家和數學家沒能用清晰的方式去解答芝諾的疑難。所以他們基本上滯留於芝諾的難題中而不能自拔，即使討論運動與變化，他們往往也是局限於形而上學的思辨範圍之內，或者像如赫拉克利特的著作中所表現的，或者像亞裏士多德那樣在數學與物理學之間做出某種區分：前者是研究“不包含運動的事物”，後者則專門研究運動的事物——在亞裏士多德看來，數與數之間不能產生一個連續統，因為數與數之間不能相互接觸。他甚至反對微積分學的基本概念——瞬時變化率。

總之，希臘人較早地觸及微積分的形而上學問題，並試圖對之進行概念性的說明，以圖擺脫單純的依賴經驗的狀態。其中一些難題和概念的提出反映出人類智力所做出的努力。但是，總體上來說，希臘人的微積分形而上學與他們總的形而上學自然觀，是相一致的，即他們對可變的、整體的世界以一種靜止的、分析的眼光來看待，而看不到運動與變化，看不到或較少看到無限與有限、連續與間斷、時間與空間、運動與靜止等之間的相互關係。由於這一原因，古希臘自然哲學家（還有部分數學家）對無限、極限的概念缺乏一以貫之的、明確的認識，他們甚至對無限充滿恐懼。正如美國學者C.H.愛德華所說：“希臘人總是謹慎地避免明顯地‘取極限’，這種精神上‘對無限的恐懼’，或許是使得窮竭法邏輯不甚清晰的原因。”[55]又說：“希臘人對於無限，特別是對於我們稱為極限的概念所賦予的神秘感，已消隱（即使未能消除）在歐多克斯原理之中。在這方麵，亞裏士多德注意到：當時的數學家並未使用無窮大和無窮小的量，而隻滿足於可以使之任意大或任意小的量。”[56]這些正是他們的不足；對於微積分思想的形成來說，這些也許是致命的。

再來看古代東方。與古希臘人相反，中國古代賢哲一開始便對無限、連續、極限等基本概念持敞開的和接受的態度。早在先秦時期，中國就已經形成了成熟的無限宇宙觀和無限時空觀。例如，《老子·十四章》中的“道”，是“迎之不見其首，隨之不見其後”，意即“道”化生天地萬物，上下運行不止，具有無窮的時間和空間意味。莊子對時空的無限性有著直接和清晰的闡述。在莊子的《逍遙遊》中，作者就提出蒼天（空間）是不是無限的問題：“天之蒼蒼，其正色邪？其遠而無所至極邪？”他肯定了天上的河漢是沒有止境、沒有邊際的。他還否定時間有“開始”：“……有始也者，有未始有始也者，有未始有夫未始有始也者；……”（《齊物論》）這即是說，當“有始”是無限地逆推下去的時候，“有始”也就成了“未始”。關於“無極”（無窮）的說法，《列子·湯問》中也有精彩的論述：“殷湯曰：‘然則上下八方有極盡乎？’革曰：‘不知也。’湯固問。革曰：‘無則無極，有則有盡；朕何以知之？然無極之外複無無極，無盡之中複無無盡。無極複無無極，無盡複無無盡。朕以是知其無極盡也，而不知其有極有盡也。”[57]這種對宇宙無限的看法，論者是很自信的。

在《周易》象數係統中，不僅包含無限分割的思想，更有運動、變化的描述。例如，“變動不居，周流六虛，上下無常，剛柔相易”（《係辭下》），講的就是陰爻和陽爻在六個虛位上流轉環行，周而複始，運動不止。關於這方麵的意蘊，宋代哲學家深得其精髓。如理學的開創者周敦頤在其《太極圖說》中說道：“無極而太極。太極動而生陽，動極而靜，靜而生陰。靜極複動。一動一靜，互為其根。……二氣交感，化生萬物，萬物生生而變化無窮焉。”[62]易學大師邵雍將《周易》中“易有太極，是生兩儀”的思想加以擴展和推演，把卦爻的變化看作是數值遞增的過程：“太極既分，兩儀立矣。……是故，一分為二，二分為四，四分為八，八為十六，十六分為三十二，三十二分為六十四。故曰‘分陰分陽，迭用柔剛，故易六位而成章。’十分為百，百分為千，千分為萬。猶根之有幹，幹之有枝，枝之有葉。愈大則愈少，愈細則愈繁。合之斯為一，衍之斯為萬。”[63]程頤將邵雍的這種方法概括為“加一倍法”（《外書》十二）。朱熹也說，康節之數“隻是一分為二，節節如此，以至無窮”（《朱子語類》卷六十七）。

研究表明，數學家劉徽的思想受到了曆代名家、墨家、道家以及易經象數思想的影響。例如，他在《〈九章算術〉注》中認為自己從事數術研究就是“觀陰陽之割裂，總算術之根源。”在“割圓術”中，他很有可能受到名家“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”的影響。[64]數學史家郭書春明確指出，“半之彌少，其餘彌細，至細曰微，微則無形，由是言之，安取餘哉”中的“微則無形”句，脫胎於《莊子·秋水》中“河伯曰：世之議者皆曰，‘至精無形……’……北海若曰，‘……夫精，小夫微也；……夫精粗者，期於有形者也；無形者，數之所不能分也；不可圍者，數之所不能窮也’”一段。[65]

在印度佛教中，實在論的觀點中包含有極限的思想。在佛教徒看來，外部世界並無穩定性，存在僅僅是一係列外部的變化；構成實在本質的是前後“相依緣起”的諸“刹那”。按照蘇聯學者舍爾巴茨基（Fědor Ippolitovich Stcherbatsky）的闡釋，“刹那”是指不同的事物在刹那間相互區別，它們之間沒有任何間歇，或者說隻有微分的（無窮剖分後的）極少間歇。而這個所謂刹那恰恰是作為終極實在的存在物，它可以被看作是數學上的“點”，是一個有著“別性”的絕對的“自在之物”；它作為“非連續的、唯一的、分離的東西是一切持續性的極限並且被當作某種絕對的數學的點刹那的最終存在”[66]。因此，“數學的極限應該是印度學者們熟悉的”[67]。

另一位英國學者亞瑟·伯林德爾·凱思（Arthur Berriedale Keith）在他的書中分析了印度正理派和勝論派中的“極微”思想。他指出，所謂極微是必然有分的（由部分所組成的）；可以有“二微”“三微”和“多微”。細微所成者隻會是更細微的結果。如果這種細微的分析可以無窮分割下去，那就得承認：體大如山和微如麥芒，其體量性體積性依然存在。這也就肯定了無限細微者與有體有量者的平等性質。然而，極微論者同時認為，虛空無所不在，而極微並不表明虛空的存在。因此，極微的分析總有盡頭；極微是可分割的最小的極限。[68]這種看似矛盾的情形也許正如凱思所分析的，可能是受到希臘的影響（雖然並沒有原封不動地接受希臘的觀念）造成的。類似的情況也表現在其他方麵。例如，在佛教徒看來，刹那是沒有時間的持續性和空間廣延性；後者隻是所謂名言或生起性想象的產物。所以依此之見，刹那恰恰是間斷性或而非連續性。這樣一來，沒有連續性，何來趨於極限的無限可分概念呢。把作為數學之點的刹那終極實在又看作是無限可分的，難道不是矛盾的嗎。也許，印度佛教徒正是靠著這個充滿思辨和想象的概念——刹那，將彼此矛盾的間斷與連續、運動與靜止、無限與有限統一了起來。於是，從刹那的角度來看，穩定性可以被理解為隻是第一刹那的穩定，而運動隻是刹那的係列：一種由前後無間追隨的緊密組合。

這裏有必要簡略談談與“0”的概念相關的哲學觀念。因為0的概念及其符號與後來的微積分思想關係極大。以斯賓格勒為代表的一些學者認為，0的概念與印度宗教中的“非存在”思想有關。斯賓格勒指出，印度人的數字就像婆羅門教的涅槃一樣是不可理喻的。然而正是這種精神“才能夠產生出虛無作為一個真正的數即零的偉大概念，甚至在那時，這個零對於印度人之所以是零，是因為存在與非存在同樣是外在的”[69]。確實，在佛教徒看來，“反麵”（negativity）和“非存在”（non-being）是積極而美好的。因為佛教徒以生活和世界的反麵為出發點；對他們而言，存在是“無”（nothing）。非存在是印度人和佛教徒積極追求的狀態，是他們試圖達到的涅槃境界。應當說，這種思想和文化對於接受“0”這樣的概念確實比較容易，或者說不會給數學家造成太大問題（非存在是具體的、可探討的狀態）。但也有不同意的觀點。例如，美國學者卡普蘭（Robert Kaplan）認為，斯賓格勒等人的錯誤在於用“空白”（void）或者“空的”（empty）意思來錯誤地翻譯“sunya”這個詞。然而，在印度教徒的眼中並沒有絕對的空白或者虛無狀態。“sunya”一詞的含義不是空白，它就像“一個中空的子宮，準備好去膨脹”。它的夥伴詞“kha”來自動詞“去挖”，含有挖洞並將其填滿的意思。[70]我認為，這兩種觀點並不構成根本衝突：當印度數學家把0看作某一數而進行乘除加減時，或以一量來除以0被看作是無窮大（通往涅槃的道路）時，實際上他們並沒有把0看作是絕對的空白或虛無。[71]

從以上的比較可看出，古代中國、印度的微積分的形而上學與古希臘有著鮮明的差異。前者都體現出樸素辯證法的一些基本原則，更強調運動、變化、連續等以及對象的無限可分性。其中的一些觀點雖然具有鮮明的直觀性和經驗性，但卻閃耀著智慧的光芒，具有很強的靈活性和包容性，可解釋性的範圍非常廣泛。尤其是其中對無限的接納，對極限的直覺，對“刹那”的洞悉等，正是微積分思想得以形成的溫床或必不可少的元素。這或許是後來的微積分更傾向於東方的哲學觀念而悖逆於古希臘哲學的一個重要原因。當然，東方的微積分形而上學也有自身的不足，即直觀的猜測有餘而概念性的分析不足；許多重要思想埋沒在經驗性的算法當中而不能充分地彰顯出來。

二、兩種處理數學微積分的方法：幾何的與算法的

與不同的微積分形而上學相應的是兩種不同的解決微積分問題的數學方法；或毋寧說，不同的微積分數學方法助長了不同的微積分形而上學。大體說來，這兩種不同的數學方法，一是幾何的，二是算法的。

還是先來看古希臘數學家所采用的方法。與早期希臘數學注重演繹推理的方法相一致，他們在處理微積分問題時的方法基本上是幾何化的。在早期，畢達哥拉斯學派的“麵積貼合理論”試圖通過把一個圖形貼合到另一個圖形上去的做法，給麵積概念以明確的定義。例如，兩個長度a和b的乘積不是第三個長度的計算是通過邊長為a和b的矩形的兩個麵積之和給出。但是，在把這一理論應用於線段的比較時，人們發現正方形的邊疊合到對角線上時會出現不可公度量。從此，雖然希臘人把無理量作為幾何學的一部分，但他們從來也沒有想到要創造無理數來逾越這個障礙。到後來希臘人幹脆放棄畢達哥拉斯學派將數的領域與幾何的或連續量的領域等同起來的努力。

對於畢達哥拉斯學派遇到的量的不可公度困難，德謨克利特也許是熟悉的。他可能嚐試通過“數學原子論”的理論去解決它。這種數學原子論似乎可以看作具有無限小量性質的不可分量理論。[72]但這種理論所揭示的充其量也隻是一種固定的無限小量，它本身所具有的離散性並不能消弭畢達哥拉斯學派用幾何學說明連續性的“先天不足”。至於柏拉圖，他雖然似乎已經意識到算術與幾何之間存在的鴻溝，但他的工作主要還是集中在幾何方麵。並且，他反對畢達哥拉斯學派持有的無限的概念和德謨克利特的原子論。如果說，他在微積分思想史上有什麽貢獻的話，那就是他所形成的抽象化的路線能夠有效抵消畢達哥拉斯和德謨克利特的“線有厚度”的原子論觀點中的過於訴諸感性經驗而無法適用的不足；他的“無限者”的流動生成雖然是基於對運動的直觀，但卻消除了直觀中的感性因素和原子論的粗糙感，因而是一個與萊布尼茨生成中的無限小概念非常相似的概念。這對微積分的初創是有幫助的。[73]

為了最終解決前人遇到的難題，數學家歐多克斯提出了“比例論”和“窮竭法”。在比例論中，歐多克斯給出了更一般的定義，即“存在一個整數n，使得na＞b”（當約定兩比較的量）。這個定義不一定要求比式的兩項都是（整）數，而隻要比例中的四個項全是幾何量就行，這樣也就無須擴充畢達哥拉斯學派的數的概念了。在窮竭法中，歐多克斯把他之前的數學家安提豐和布萊森的思想發展為處理關於兩個不同的、異質的或不可公度的量的問題的嚴格論證形式。即他棄而不用數字的概念，而是給出“如從較大的量減去大於其一半的量，再從餘下的量中減去大於其一半的量，這樣一直繼續下去，總可使某一餘下的量小於已知的較小的量”的原理。其論證的每一步都訴諸空間直觀，分割過程中根本不用像一個無窮邊數的多邊形（一個最終跟圓重合的多邊形）這樣含混不清的概念。由於沒有采用數值的等式（而是兩個麵積之間的一個比例關係），歐多克斯的窮竭法不可能出現數“π”的情形，這也就回避了算術而部分地解決了前人的難題。他與安提豐一樣，所用的方法是純幾何的。

在古希臘數學史上，沒有任何一個數學家能像阿基米德那樣更接近於微積分思想了。但他的方法同樣偏重於幾何。他繼承了歐多克斯的“窮竭法”，並將其發展成“括約法”（method of compression），即當在用此方法來證明圓麵積時，他不僅利用圓內接正多邊形，而且也用圓外切正多邊形，以便把圓的麵積“括約”在十分接近於圓的內接與外切兩個正多邊形之間。為了達到論證的準確性，阿基米德逐步把邊數加倍，得到內接和外切的正12，24，48和96邊形，最多時達到了640邊形。所不同的是，在論證中阿基米德並沒有把演繹的窮竭法作為一種適用於發現新結果的工具，而是把它同德謨克利特和柏拉圖曾經探索過的無限小量觀念結合起來。例如，為了解決拋物線弓形麵積的問題，阿基米德在《拋物線求積法》中用窮竭法給出了證明。他的具體方法是，在拋物線弓形中作底邊相等、頂點相同、麵積為A的內接三角形。接著，分別在以三角形的兩邊為底的兩個小弓形裏麵再作這種內接三角形；一直這樣做下去，在得到一係列邊時，同時得到越來越大的多邊形。然後，他證明，第n個這種多邊形的麵積由級數給出。這就是所謂“雙重歸謬法”。它證明：拋物線弓形的麵積既不能大於也不能小於第n個這種多邊形的麵積所給出的級數。（見圖13-4）

圖13-4 阿基米德雙重歸謬法

無疑，阿基米德的窮竭法是一種強有力的方法，他的工作是現代微積分思想的出發點。但是，阿基米德的窮竭法在用直線逼近曲線的過程中並沒有明顯地從極限上去著想。準確地說，阿基米德在窮竭法中所做的證明並沒有去求無窮級數的極限，而隻是求出前n項加上餘項後的和，即他沒有明確表明，在極限裏已經沒有餘項了。因此，說阿基米德的幾何演算是引向極限的通道是不確切的。因為正如波耶所說：“窮竭法雖然在許多方麵都跟現代微積分中用於證明極限存在性的論證形式一樣，但並不表示包括在求極限過程中的觀點。希臘的窮竭法僅處理連續量，所以是純幾何的，因為當時對算術的連續量還缺乏了解。”[74]愛德華也指出，微積分的三個必不可少的組成部分在阿基米德的工作和研究方法中是見不到的。一是阿基米德同樣沒能擺脫希臘人“對無限的恐懼”，因此沒有極限概念的明確引入。二是阿基米德強調通過幾何構思來解決問題，過度依賴幾何化的代數學，而沒能建立計算麵積和體積的一般法則。三是阿基米德像希臘人那樣隻是把切線看成“切觸”線，因而就很難使人想到這種互逆關係和做出“變化率”的解釋。[75]

從認知方式上來說，希臘人的幾何方法與他們的演繹推理邏輯是緊密相關的。希臘人特別注重定義的明晰性、公理的自明性和推理的嚴密性；在思考和討論問題時，一般很注意問題的邏輯前提。凡是能夠從幾何空間直觀上加以把握和論證的方法和步驟，則加以承認；凡是需要直覺和想象才能加以理解的概念，則加以拒斥。例如，由於數學家安提豐提出的問題被認為沒有嚴密的邏輯性，亞裏士多德認為人們根本沒有義務去駁斥它。[79]但是，許多問題特別是比較複雜的問題的解決，僅僅依靠幾何直觀和證明是不夠的。例如，窮竭法對應在於一種幾何直觀，而在這種幾何直觀中難以形成極限的概念。在這裏，這些問題與說是邏輯上的困難，不如說是形象化的困難。或者說，正是形象化比較困難，希臘人退而求其邏輯上的證明。他們采用了間接、清晰卻又相當煩瑣的推理證明方法。例如，前述“歸謬”性的邏輯證明就是如此。在這個證明過程中，雖然他們舍棄了任何不明晰或模糊的概念，卻也因此與無窮小、無限、極限、無理數等概念失之交臂。

還有一點，即0的概念與微積分思想的形成有重要的關係，但希臘人沒有發明0的概念，這同樣與他們的認知方式有關。首先，位置數符號和文字係統關係密切。在最早的字母表比如閃米特字母表和希臘字母表裏，字母被用來表示數字。前10個字母表示從1到10的數字，接著的9個字母表從20、30到100的十位數。這種計數係統沒有位置數0。雖然羅馬人也用字母表開發了一套數字係統，但計算方法及其笨拙。可以說，字母表推動了希臘人演繹邏輯和理性精神的發展，而“希臘人成了自己邏輯那種線性的非此即彼取向的奴隸。結果，他們的想象力受到拘束，這就使他們難以構想‘0’的概念”[80]。

在劉徽的方法中，他通過運用算法數學發展出一種別具特色的“割圓術”。所謂“又按：為圖，以六觚之一麵乘一弧半徑，三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一麵乘一弧之半徑，六之，則得二十四觚之冪。割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣”。（《九章算術·方田圓田術注》）[83]根據已知弦和矢，用勾股法求出圓的直徑，然後連續平均分割已知弓形，得到無窮多個更小的弓形，最後弓形麵積為所有三角形麵積之和，即以圓心為頂點的無數小等腰三角形與圓麵積“合體而無所失”。（見圖13-5）[84]

圖13-5 劉徽依勾股之法割圓圖

圖中點O為圓心，AB為內接正n邊形的一邊，C為弧AB的中點，因之，AC是內接正2n邊形的一邊。注意到AB⊥OC，考察直角△AOG，其中，“弦”OA為半徑，“勾”AG則為邊AB的一半，即

因而“股”長

進一步考察直角△ACG。這裏“小勾”

|GC|=|OC|-|OG|

而“小股”AG為直角△AOG的“勾”，從而可求出“小弦”

此即內接正2n邊形的邊長。

再注意到

結果有

內接正2n邊形的麵積=AOC麵積×2n

當然，對於割圓術中“割”到96邊形後，是否還要繼續往下“割”，劉徽是有自己的考慮的。在“陽馬術注”中，劉徽甚至還說“安取餘哉”，認為對“至細”“無形”的東西，可以舍棄不要；至於求微法中，劉徽也說過“不足言之”的話。這些似乎表明劉徽並沒有明確的極限思想，並與他的“合體而無所失”目標有所背離。對於這些看似矛盾的觀念，確實需要做一番說明。如果僅僅停留在切割幾何圖形的論證上，似乎與安提豐等人的論證非常相似。然而劉徽的高明之處在於，他對極限過程的逼近是建立在算法或數值計算基礎上的，即把幾何問題轉化為計算問題，通過數字計算求得正多邊形麵積對圓麵積極限的逼近。如同樣是在割圓術注文中，劉徽說道：“觚麵之外，猶有餘徑。以麵乘餘徑，則冪出弧表。若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。觚而裁之。以一麵乘半徑，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓冪。”（《九章算術·方田圓田術注》）這就是證明。而所謂“則朱冪雖有所棄之數，不足言之”是指，“微數”隻要達到一定的精確度就可以停下來。至於何時停下來，則出於實用的考慮：如果計算過程對實際問題的解決並沒有太大作用，即使是非常精確的數值也是沒有必要的。這樣，與其說劉徽強調了“有限”，不如說他朦朧地意識到了有限和無限的辯證統一。無限是可以通過有限來顯現的。因此，不能因為劉徽出於實用的目的把“有限”作為處理問題的“權宜之計”而忽視他對無限、極限的深刻洞察和理解。[86]

在圓錐和球的體積的“證明”中就體現了這種算法特征。劉徽還采用所謂“陽馬術”，即“陽馬與鱉臑體積之比為二比一”，而且，這個分割過程是可以無限地進行下去的，而所餘部分越來越小，且隨n→∞而趨於零，但“陽馬與鱉臑體積之比為二比一”一直成立。受劉徽關於體積計算的啟示，祖衝之、祖暅父子借助於“牟合方蓋”計算球體體積的方法解決了球體體積的計算問題。有學者認為，“祖暅原理”中“冪勢既同，則積不容異”的觀點蘊含著意大利數學家卡瓦列裏“不可分量”的思想。吳文俊指出，卡瓦列裏的原理實際上在祖衝之、祖暅父子的工作中就已經表現出來，而時間上卻早了1100年。[87]此外，李約瑟在他的《中國科學技術史》一書中，還列舉了沈括的“造微之術”以及周述學在《神道大編曆宗算全》中給出的在角錐內把球累成十層的圖解說明等，認為中國人“有一些關於無窮小、窮竭法和微分的概念的基礎”[88]。

在認知方式上，劉徽等人注重發揮類比思維、形象思維的作用，是一大特色。例如，劉徽割圓術就受到司馬遷“漢興，破觚而為圓”之說的影響，其原型乃是工匠把帶有棱角的原材料加工成圓形的做法。[89]對於《九章算術》“勾股章”葛纏問中求葛長的問題，劉徽先用筆管纏青線模擬葛纏術，然後解開來看，發覺每周之間都相間成勾股弦（筆管的周長和線兩圈之間的距離分別為股和勾，線一周的長為弦）。由此他解釋了《九章算術》以木長為股，木圍的七倍為勾，然後求弦，便得到葛的長度的合理性。[90]通過這種把“曲”拉為“直”的類比，劉徽獲得了由“曲”到“直”的認識，並由此確立了一種認識論信念，最終形成“引而申之”的認知路徑。這當中，自然時有語焉不詳，或隻是滿足於類比直觀即可的不足。但聯係到劉徽“凡物類形象，不圓則方。方圓之率，誠著於近，則雖遠可知也。由此言之，其用博矣。謹按圖驗，更造密率”以及“推理以辭，解體用圖”等說法，可知劉徽在割圓術、陽馬術中充分發揮了形象思維的作用。他既重視類比推論，也重視圖形直觀，追求“數”與“形”統一，沒有希臘人那種脫離實際的純邏輯的形式主義弊病。

再來看看古代印度學者與中國古代數學家相近的方法。數學史家M.克萊因從數學的角度指出，印度人注重數學的算術計算方麵，並在這方麵做出了突出貢獻。他們稱數學為伽尼達（ganita），意思就是“（計）算（科）學”。並認為印度人不像希臘人那樣細膩，他們看不出無理數概念所牽涉的邏輯難點，並且把適用於有理數的運算步驟用到無理數上去。他們的整個算術完全獨立於幾何。[91]由於這一特點，印度數學處理微積分的方法同樣是算法的。例如，印度人認為直線圖形與曲線圖形沒有什麽本質的區別，都是可以用數來度量的，並且主要是用算術度量，而不是幾何和關於麵積貼合的研究。甚至相比較而言，印度數學家在解決計算球的麵積和體積問題上比中國更有優勢。例如，他們一直致力於將曲麵轉化為直線型物體，並按照印度人求幾何圖形麵積的方法，將彎曲的曲麵分解形成無數個小曲麵。由於分解的個數無限多，所以小曲麵可以被直觀地看作是平麵圖形而加以計算。正是基於這一點，數學史家斯瑞尼瓦森格（C.N.Srinivasiengar）認為，婆什迦羅在求解球的問題時，肯定使用了極限的思想。基於此，他認為婆什迦羅才是發明微積分的先驅。[92]公元八世紀，印度耆那教徒維拉聖奴（Virasena）在其數學著作中給出圓台體積的準確公式。其推導過程很別致：設圓台上下底直徑為a，b，高為h。先考慮挖去以a為直徑、h為高的圓柱，然後把空心圓台掰開，展成有相同體積的五麵體（《九章算術》中稱之為“羨除”），再用類似於劉徽在求鱉臑體積公式中所用的無限分割方法，把這個立體體積歸結為一係列由體積構成的無窮數列之和，即把空心圓台體積視為其部分之和的極限。[93]

卡普蘭指出，雖然印度人並不是0的最早發現者（一種觀點認為蘇美爾人以楔形的書寫位置來代表數值的大小而不論楔形形狀的大小，並引入“空位”概念），但是印度人使0的含義更接近於數字的含義（而不隻是使用各種名稱來表示0），即使之具備數字和計算的性能。這對於後世微積分的發展史有重要意義。卡普蘭寫道：“在發展我們知識的時候，零給予了我們最大的幫助。感謝微積分，在我們使用任何約定時，零處於支配地位並給我們帶來巨大的方便。”[97]事實上早在拿破侖時代，數學家拉普拉斯就已經指出，對微積分來說，“0”的概念和數字符號具有至關重要的獨特作用。他說：“印度人用10個符號賦予我們表達一切數字的天才方法，每一個符號都獲得一個絕對價值和位置價值。這個極其深刻而重要的思想表麵上簡單，致使我們忽視其真正的功績。正是由於它使一切計算簡單而容易，所以我們的算術才進入了最有用的發明前列。如果我們記住，古代兩位偉大的天才阿基米德和阿波羅尼奧斯竟然忽視了‘0’的概念，我們就充分認識到這一成就是多麽偉大了。”[98]哲學家黑格爾也說，微分可以當作真正的零來看待和對待。[99]美國科普作家阿西莫夫甚至不無遺憾地說：“阿基米德的窮竭法其實是積分運算的前身。如果若幹世紀後，哪位慈善家能夠通過‘時空隧道’把阿拉伯數字贈送給他的話，阿基米德也許會在牛頓之前兩千年就發明出微積分。”[100]這裏所說的阿拉伯數字自然包括了印度數字。列舉這些學者的論斷，隻是想表明，包括0在內的印度數字和印度算法思想對於近代微積分的重要價值。

總的來看，構成微積分的一些基本概念源於自然和經驗本身。例如，運動的觀念、可變性的觀念、連續性的觀念等，都是從質樸的感性經驗中提煉出來的。而東方人的算法思想和認知方式能夠較好地滿足經驗性的需要，能夠很好地刻畫事物的可變性。例如，位值製和記數符號能夠指向“變化”的方麵。這也就是為什麽古代微積分的發展更傾向於東方算法思想和算法數學的重要原因。因此，微積分要獲得發展，必須回歸“算法”之路。對於西方數學來說，要形成近代意義上的微積分，必須接納東方特色的微積分形而上學和微積分數學方法[101]，以及由此形成的認知方式。

三、東方算法思想和數學方法的西傳及其影響

近代微積分理論的形成除了經濟、社會因素以外，文化的因素也是不可或缺的。文化的因素包括數學思想、數學方法和認知方式等方麵。在闡述歐洲近代微積分理論形成之前，有必要簡要介紹一下東方算法思想和數學方法的西傳，以及西方數學概念體係和數學方法體係所發生的相應的嬗變。自然，這種介紹不可能是全方位的。我僅就一些關鍵性的地方作些介紹和說明。正如D.普賴斯所說：“理解科學在當今世界中的位置，就必須追溯它不斷延續的曆史，以抓住一些關鍵時刻。而這些時刻並非一定是指重要的發現或重大的進步，而是指人們不得不采用新思想或在思維中注入新因素的那些轉折點。”[102]對於新歐洲開始以來的數學來說，這些“新思想”“新因素”包括十進位小數、0的概念與符號、代數求解、坐標幾何等，也包括由上帝、虛無的重新認識和理解。下麵，我先簡要地勾勒東方算法思想和方法傳入西方的過程。

當然，對印度—阿拉伯數字西傳做出重要貢獻的則是中世紀意大利數學家斐波那契。在早年，斐波那契隨父在北非師從阿拉伯人習算，後又遊曆地中海沿岸諸國，回意大利後即寫成《算盤書》（亦譯作《算經》，Liber Abbaci）一書。該書最大功績是係統介紹了印度—阿拉伯數字及其記數法。其重要性表明，歐洲舊式數字運用“已經成了前進道路上的絆腳石；相反，印度—阿拉伯數字卻打開了這一通道”。薩頓甚至稱《算盤書》為“歐洲數學誕生和走向複興的標誌”[106]。

作為東西方數學交流居間地帶的文明體，阿拉伯地區的數學也具有算法的傾向。這裏要特別提到的是中世紀阿拉伯偉大的數學家花拉子米（al-Khowarizmi Mohammed ibn Musa）。他著有《印度算術書》和《代數學》兩部重要數學著作。前者被認為是以印度數碼表示的十進位值製記數體係及其運算方法傳入歐洲的開端，後者則討論一次、二次方程的解法，被西方認為是代數學的始創。花拉子米還著有《積分方程計算法》，這本書一直是中世紀歐洲各大學主要的教科書，並沿用到16世紀。從曆史貢獻的角度來看，花拉子米的工作恢複了巴比倫和印度的傳統。因為他把量作為“純粹的”數而不是作為幾何量來進行處理，並且把解題議程歸結為一些運算程序即算法。我們今天講到的“算法”（algorithm）一詞就是由這位作者的名字演變而來的。總的來看，阿拉伯人豐富了東方式的算術和代數學寶庫。另一方麵，在長達大約四個世紀的曆史進程中，阿拉伯世界保存了希臘數學傳統，並發展了代數方程求解的幾何方法。毫無疑問，中世紀伊斯蘭文化和阿拉伯的計算數學對希臘數學的轉向起到了積極的作用。

圖13-6 東方算法思想的西傳以及西方的接納

國內的研究也證明，阿拉伯的“hisabal khatayym”（所謂“契丹算法”）來自於中國的盈不足術。中國數學史家錢寶琮很早就主張“khatayym”是由“契丹”一詞的音譯轉化而成的。而“契丹”一詞曆史上是指中國的北部。因此很有可能，“契丹算法”這一名稱是隨西遼遷移而帶到中亞地區的。[111]吳文俊則認為，花拉子米《代數學》中處理幾何的方式與中國古時幾何問題中常用的切割術或所謂出入相補方法不無類似之處，即將幾何問題代數化，再轉變為方程問題來求解。他還引用李約瑟的考證，證明花拉子米在公元842～847年曾出使波斯以北並充當東西方商業要衝的西突厥可薩國，而可薩國通中國語，行中國禮儀。[112]最近的研究指出，阿拉伯數學家薩瑪瓦爾在其博采眾家之長基礎上形成的數學著作《算術珍本》中，用了整整一個章節講解如何用盈不足術解線性方程。可以推測，這是盈不足術源於中國的重要佐證（因阿拉伯文獻中關於盈不足術的最早記載是花拉子米所著的《盈不足算書》，而該書沒有流傳下來）。[113]

我們再看東方算法思想和方法融入西方以後所出現的一些情況。隨著公元11世紀開始的拉丁學術的複興，西方世界出版了大量有關計算、算術的書籍。雖然在斐波那契之後的相當長的時間裏，西方數學界沒有他的繼承者，但是到了14世紀，情況開始有了轉變。到1500年，0已經被西方人接受為一個數；隨後意大利人文主義者、數學家帕喬奧裏（Luca Pacioli），日耳曼數學家施蒂費爾和工程師西蒙·史蒂汶等人按照印度人和阿拉伯人的傳統使用無理數，並引入了種類越來越多的無理數。其中，史蒂汶在他的《十進算術》中提倡用十進製小數來書寫分數並對它們進行運算，而反對用六十進製。又如，作為微積分先驅者之一的開普勒也廣泛地應用對數和十進位分數，且熱情地傳播這方麵的知識。其後，笛卡爾部分地接受了負數，並把方程的負根稱作假根（直到17世紀以後，大多數歐洲數學家才心安理得地使用負數）。

除了接受東方算術和初等代數，歐洲人也結合自身數學的一些特點，做了一些融合與改進工作。在當時對於習慣於嚴密的邏輯推演和幾何證明的歐洲數學家來說，算術和代數被看作是缺乏嚴密性的：算術和代數可以從幾何得到邏輯證實，而代數不能代替幾何或與幾何並列。因此，許多人或者反對把幾何與算術和代數混淆起來的做法，或者嚐試著將算術和代數納入到幾何之中。前者如泰塔格利亞（Niccolò Tartaglia）。他堅持要區別數的運算與希臘人對於幾何物體的運算；並對16世紀數學家對《幾何原本》的翻譯不加區別地使用multiplicare（乘）和ducere（倍）兩字，表示不滿。在他看來，前一個字是屬於數的，後一個字是屬於幾何量的。[115]後者如施蒂費爾，他對傳入的數字係統進行了某種程度的改造。例如，0的意義已經被改變了。因為它成為一個線性係列中作為分割+1和-1的手段，即它以一種完全非印度的關係意義被吸收到西方數字世界當中。不僅如此，在《整數算術》一書中，施蒂費爾認為算術序列和幾何序列本質上是一致的。隻是他當時沒有采取指數表示法的形式，因而其工作顯得過於煩瑣。為彌補這一不足，數學家耐普爾（J.Napier，1550～1617）在《奇妙的對數》一書中提出了指數表示法。[116]

改進工作最明顯的要算現代意義上的代數學的產生。雖然16世紀西方數學的重大進展一開始是體現在了算術和代數方麵，然而隨後的發展就不再是簡單的傳統算術和代數了，而是代數的一般化和符號化。例如，早在法國數學家韋達（F.Viète）的工作之前，數學家卡登（J.Cardan）等人已經通過解出三次和四次方程的許多例子以尋求並獲得用之於一切情況的方法。約在1590年，韋達注意到algebra（代數）一字在歐洲語言中沒有意義，主張擯去不用，而建議用analysis（解析）字樣。[117]雖然他的這一建議沒有被采用，但他以實際工作為傳統代數學注入了新的元素。這個新元素就是抽象量的代數符號。隨著韋達符號體係的引入，代數學在性質上發生了重大的變革，它是以後幾個世紀中解析幾何和微積分發展的必要條件。因為它使變化性和函數關係的概念進入了代數領域。從此，代數成為一門真正的、獨立的科學；西歐代數依賴於幾何的狀況開始逆轉。[118]

圖13-7 費馬和笛卡爾的縱坐標幾何

當然，笛卡爾和費馬的解析幾何最終表明，在數學構造中，代數與幾何具有內在的聯係，它們之間是相互影響的。或者說，“坐標幾何把數學造成一個雙麵的工具。幾何概念可用代數表示，幾何的目標，可通過代數達到。反過來，給代數語言以幾何的解釋，可以直觀地掌握那些語言的意義，又可以得到啟發去提出新的結論”[121]。這種“雙麵”性的作用，正如拉格朗日後來在《數學概要》中所說的：“隻要代數同幾何分道揚鑣，它們的進展就緩慢，它們的應用就狹窄。但是當這兩門科學結合成伴侶時，它們就相互吸取新鮮的活力，從那以後，就以快速的步伐走向完善。”[122]

上述嬗變也可以看作是認知方式的轉變。我認為，這種轉換了的認知範式就是拉卡托斯意義上的“準經驗”認知範式。佐佐木力在題為《數學中發生了革命嗎？》的演講中，用庫恩的範式理論和拉卡托斯的“準經驗”概念分析了近代歐洲代數思想方法（manner of algebraic thinking）的形成和發展過程，並認為到17世紀時，一種新的數學範式或數學革命已經形成。這就是“準經驗”的數學範式的確立。相對歐洲傳統數學，這種範式的確立，無疑是一場革命。他指出，微分計算（differential calculus）被稱為“Algorithm”，其拉丁語“Algorismus”來自於阿拉伯數學家花拉子米的名字，而萊布尼茨似乎使用了這一詞匯來表示他的新的微分符號（symbolic calculation）。從某種意義上說，正是通過阿拉伯的數學或東方的算法思想和方法，萊布尼茨實現了一次數學革命或者說是一次數學範式的轉換。[128]持類似觀點的還有數學家J.格瑞賓勒（Judith V.Grabiner）。他曾指出，“數學革命”（mathematical revolution）在曆史上曾經多次發生過。例如，古希臘的幾何學曾為來自經驗科學的數學所改變，後來又被非歐幾何和代數學所改變，特別是在18、19世紀，它們主要聚焦於數學的計算方麵。這種革命性的變化表明，數學真理也是“時間依賴”的。[129]這種時間依賴，無疑具有經驗性的特征。

伴隨著東方算法思想和數學方法的西傳，東方人關於微積分的思想和方法也傳播到西方。從17世紀以後，原本跨越兩大文明板塊的兩種微積分概念體係和數學方法被集中地展現在歐洲數學舞台上；它們被交織性地運用於微積分理論的創造過程中。這裏既有概念的變化、數學方法的變更，也有認知方式的轉換。這其中，某些數學家可能更傾向於或更擅長於算法的思想和方法，另一些數學家則更青睞傳統的幾何證明的方法，而更多的數學家則是兩種概念體係和兩種方法交替使用（這時我們在他們的數學研究中很難簡單地區分何者是算法的，何者是幾何的）。不管怎樣，有一點是肯定的，即這些數學家都為微積分理論的創立做出了自己應有的貢獻。

關於數以及數量的變化（數的計算）對改變數學觀念方麵的作用，萊布尼茨有過一個很好的論證。他說：“在數方麵的觀念，是比在廣延方麵的觀念既更精確又更恰當地彼此區別開的，在廣延方麵，我們不能和在數方麵一樣容易地來觀察大小的每一相等和每一超過量，這是因為在空間方麵，我們不能在思想上達到某種確定的最小，在此之外不能再前進的，如同在數方麵的單位那樣……因為要清楚地認識大小就得求助於整數或其他靠用整數知道的（量度），因此就要對大小有一清楚的認識就得從連續量又再來借助於分離量。”[131]這裏的“分離量”就是以整數表示的量，它具有離散的特征，能夠表示幾何連續量所不能表示的量的關係。也就是說，人們過去無法談論的無限問題可以通過算術計算的工具來加以討論。當然並不限於整數的量。

必須承認，即使這個時期的許多歐洲數學家十分青睞東方的算法思想和方法，但他們一刻也沒有完全放棄他們習慣的幾何方法。即使是蘇依塞思，他有關變化問題的嚐試終究沒有離開幾何直觀這一媒介的幫助。其主要後繼者——牛津大學默頓學院的一批邏輯學家和自然哲學家們，包括奧雷姆（Nicole Oresme）、T.布雷德沃丁（Thomas Bradwardine）等人，對“形態幅度”（latitude forms）以及與之相關的“無窮級數”問題進行的研究幾乎完全采用幾何的方式表述。