與西蒙·史蒂汶的數字證明以及後來的開普勒關於麵積體積的數值計算不同，伽利略的學生卡瓦列裏在《不可分量幾何學》中完全不強調代數和算術的要素及其作用，認為麵積和體積是直觀清楚的幾何概念。他總是隻求這些麵積和體積之比，而不單獨去求它們的數值。他用幾何證明的方法證明了伽利略在物理解釋中所使用的欠精細的不可分量概念。他設想麵是由條數不定的等距的平行線段所構成，立體是由等距的平行平麵所構成，類似於一塊棉布中平行的棉紗，或者一本書的書頁。而且，這些元素分別作為麵積和體積的不可分量，其數量是無限多的。為了說明這一點，卡瓦列裏形成了有關平行四邊形中的線段和組成它的三角形的一些定理並加以證明。但盡管如此，卡瓦列裏並沒有解釋清楚到底什麽是不可分量，尤其沒有解釋清楚一堆沒有厚薄的元素怎樣可以組成麵積和體積（比喻隻能是一種比喻，不是嚴格的證明）。因此總的來說，卡瓦列裏對無限性的認識持一種不可知論的態度。但有意味的是，正是這種不可分量的觀點，使得卡瓦列裏放棄嚴密的窮竭法而改用粗糙的不可分量法，並將這一概念與運動的觀念聯係起來，其定理證明的實際效果隱含著體積計算中的極限過程。或許由於這一原因，他的著作成為17世紀數學家研究幾何學中無限小量問題時引用最多的書籍。
在此基礎上，數學家托裏拆利（Evangelista Torricelli）追隨卡瓦列裏，把幾何的方法發揮到極致。在《關於拋物線的維數》一書中，他給出了21個證明，其中包括阿基米德的窮竭法和不可分量法。運用這些方法，他得出了許多新的結果。其中就包括對圓柱體不可分量的證明，而這個證明步驟與積分學中所使用的步驟相似。在《關於雙曲線的無限性》中，托裏拆利的證明過程是按照阿基米德的方式進行的。此外，托裏拆利利用運動合成確定任意整數階拋物線的切線方法，給出了應用伽利略和卡瓦列裏方法的一個顯著範例。這個方法和範例觸及瞬時方向的思想，因而隱含著極限概念。但是整個來看，托裏拆利的數學概念中不可能有極限概念。因為他像卡瓦列裏一樣，其基本思想是德謨克利特的模糊的數學原子論。因此，他關於曲線與切線關係的證明，不是基於切線為變動割線的極限這種近代的觀點，而是根據古代的靜態定義：切線是與曲線隻在一點接觸的直線。[133]其中沒有絲毫的運算法則思想。
至此可以看出，17世紀的數學試圖在幾何的框架下尋求微積分的概念基礎與方法。然而，“這世紀的前三分之二的時間內，微積分的工作沉沒在細節裏。另外，許多人在通過幾何來獲得嚴密性的努力中，沒有去利用或者探索新的代數和坐標幾何中蘊含的東西，作用不大的細枝末節的推理使他們精疲力竭了”[134]。在這種情況下，一些敏銳的數學家試圖突破這種困局。這些數學家中一個重要的人物就是帕斯卡。應當說，帕斯卡在他的幾何學著作中顯示出對幾何的濃厚興趣。他斷言，無限小的幾何與古希臘幾何是一致的。並認為，凡是能用不可分量法證明的東西，也能用古代的方法去嚴格地證明。可是，他與同時代人不同的是，他對算術計算和數論也感興趣。他的一些定理不僅是從經典幾何命題中導出的，而且也是從算術三角形所表達的“擬形數”導出的。根據這樣的幾何考慮和三角形中的數值關係，帕斯卡進而研究指數取正整數的乘冪的和的問題。並在證明過程中，略去了低階項。其方法是，將較低階的不可分量的幾何直觀歸結為計算問題，以此來證明略去某些低階項的合理性。他甚至將幾何中的不可分量與算術中的0進行比較。雖然不能說他的這種做法已經是微積分的基本原理，但他把數的理論中擬形數的和與連續量的綜合幾何問題聯係起來，確實給出了積分學的許多結果。從這個意義上說，帕斯卡代表了在經典幾何的傳統下運用無限小方法的最高水平。
隨著解析幾何在整個歐洲數學中獲得普遍承認，情況發生了實質性的轉變。因為解析幾何的出現，使得變化性和函數關係的概念進入了代數的領域。以求雙曲線下的麵積為例。由於對數的出現，等軸雙曲線xy=1與自然對數和之間的奇妙聯係被表現出來。即表示雙曲線下的麵積的函數的L（x）看起來很像是一個對數；它可以給出算術級數與幾何級數之間的關係。這樣一來，雙曲線下的麵積這個不能用初等窮竭法或不可分量法解決的問題，可以通過把幾何級數逐項積分來加以解決。而這一無窮級數的形式同時告訴人們，完全可以對無窮級數進行加、減、乘、除和開方這些普通的代數運算，或者說，能夠像進行普通的代數表達式（即多項式）的計算那樣來處理無窮級數。顯然，這對微積分來說具有重要意義：在代數的幫助下，不但能迅速地證明關於曲線的任何事實，而且這個探討問題的方式幾乎成為自動的了。正是在這個意義上，恩格斯指出：“數學中的轉折點是笛卡兒的變量。有了它，運動進入了數學，因而，辯證法進入了數學，因而微分和積分的運算也就立刻成為必要的了。”[135]
當然，問題並沒有全部解決。當麵臨不同的微積分問題時，傾向於不同的研究方法的現象依然存在。這突出地表現在牛頓和萊布尼茨登場以前的兩個重要數學家J.沃利斯（John Wallis）和伊薩克·巴羅（Issac Barrow）身上。其中，沃利斯可能對西蒙·史蒂汶的算術極限方法極為熟悉，他企圖使算術完全脫離幾何表示。[136]他的《關於圓錐曲線論》和《無限算術或曲邊形求積方法的研究》主要是從算術著手的。在《無限算術》中，沃利斯肯定這種算術法則對所有乘冪（包括有理的或無理的，當然-1除外）都成立。從數學方法的角度來看，這項工作不僅成為沃利斯所稱的插值法和歸納法的基礎[137]，也使沃利斯能夠從有限中得出無限的性質的類推，並求出麵積和體積作為無窮數列的極限。所有這一切，對於進一步打破畢達哥拉斯幾何所產生的頑固的觀點，展現微積分的算法特點，是有幫助的。然而，沃利斯的算術化傾向為同時代的數學家伊薩克·巴羅所批評。巴羅認為，算術、代數是包含於幾何當中的。他傾向於費馬的新分析學和卡瓦列裏的模糊的不可分量，並用綜合的形式敘述了一個求切線與麵積的新方法。該方法比之於費馬的方法更近似於求導數的運算，其所作圖形對萊布尼茨微積分中為人熟知的微分三角形的形成起到了重要的作用。不過，由於巴羅沒有對他的這些思想用函數和連續變量的符號來表達，他不可能像沃利斯那樣形成明確的極限概念，也不可能用解析方法表示他已經初步發現的求導數和求積分之間的互逆關係。幸運的是，他的這些不足並未被他的學生牛頓所承襲。
嚴格說來，這一短暫的會合，並不是歐洲這一時期數學的主流，但它們確實又為歐洲數學呈現的兩種方法和範式保持必要的張力，提供了前提。但問題在於，僅僅從這樣的前提出發還是不夠的。雖然構成微積分的基本概念是從空間直觀和經驗性的感性材料中產生出來的，但它又是這些直觀和感性材料係統化、抽象化的產物。即使是改變了歐洲人數學範式的傳統數的概念以及算術體係，這時也已經發生了質的變化。正如斯賓格勒指出的，由於函數的觀念，傳統算術的基本屬性徹底消失了。例如，乘方最初隻是數字化地表示一組相同的數值的連乘積，後來經由指數觀念（對數），以及它在複數、負數和分數形式中的應用，已經與數量大小完全沒有了聯係。而且，函數改變了那種從視覺上加以界定的“數係”的可變關係。當我們看到3X+4X=5X和xn+yn=zn（費馬定理的方程式）兩個方程式時，它們的性質是不同的。前一個方程式由具有量的數字構成，後一個方程式則屬於一種數係；前一個確立了明確的數量關係，後一個通過符號表示其中一些發生變化則另一些也會發生變化；前一個有確定的目標和確定的來量，後一個則隻是一種關係，沒有確定的結果，因而它並不需要運算它們的值。換句話來說，後一個方程式根本就不是實體意義上的數，而是表示一種關係的符號——缺乏數量、形狀、獨特意義等內涵——是表示具有相同特性的可能位置的無窮性的符號。一句話，傳統的數由“量”變成了“關係”。[138]
作為17世紀微積分的真正發明者，牛頓和萊布尼茨（此處重點討論牛頓的微積分思想）之所以比他們同時代人和前輩看得更遠，是因為他們站在了巨人的肩膀上。他們兩人的貢獻不僅在於認識到“微積分基本定理”這個數學事實，而且還在於他們根據這個事實從以前許許多多的無窮小方法中總結出用於係統計算的強有力的算法。這其中，同樣體現出兩種基本的數學方法的交織使用。盡管我們已經很難廓清這樣兩種方法的原有脈絡。
值得注意的是，沃利斯與巴羅兩人截然對立的研究方法都對牛頓產生了突出的影響。但整個來看，在早期，牛頓似乎受到前者的影響更大一些。正如他本人承認的，他在分析和流數（fluxion）方麵的第一次發現是受了沃利斯的《無限算數》的啟發，還有聖·文森特的格雷戈裏（Gregory of St.Vincent）等人的影響。後者的無窮級數研究是牛頓增強流數法有效性的一個重要因素。因為這種級數的使用有助於流數法的廣泛應用，並幫助消除幾何上的成見。此外，沃利斯的歸納法和插值法原理也對牛頓的二項式定理的發現起到了積極作用。當然，二項式係數的表示法最初是由“帕斯卡三角形”得出的。當時是正整數的。其中每一個數都是上一行中鄰近的左、右兩個數之和。第n行（從0開始，由上往下計數）中的那些數就是（1+x）n的二項展開式中x的各次冪的係數。雖然牛頓後來在研究中將原來的二項式推廣到n為非整數的情況，但所用的方法形如在帕斯卡三角形的各行和各列之間進行的插值。首先，他用沃利斯列表插值法求出圓弓形和曲線弓形的麵積。然後，他把這些求積結果逐項微分，發現了二項級數。最後，為了驗證二項級數，他提出了人們熟知的數的長除法和開方法的代數形式。正是在這個意義上，牛頓認為微積分是代數的擴展，是“無窮”的代數，或者是具有無窮個項的代數。對此，C.H.愛德華評論說：“僅僅是二項級數的發現，就已在促使無窮級數成為一個有效的數學工具方麵起到了重要的作用，並用提供了一係列新的、有用的無窮級數。”[139]
也應當看到，巴羅的影響同樣是明顯的。例如，巴羅認為時間的特性是勻速流動的，而牛頓在《流數法與無窮級數》中也把瞬時變化率看作類似於速度概念的東西，並在幾何地和分析地運用無限小方麵，采用的是麵積的無限小矩形或“瞬”（moment）的思想。雖然牛頓求麵積的表達式無需由無限小麵積之和來決定，也不需要用他以前的數學家從安提豐到帕斯卡所用的等價方法，而是通過考慮在所論點處的麵積瞬時增量而得到，但整個來看，“流數”概念的引入對於早期的工作並不是一個本質的修正。到了牛頓出版《自然哲學的數學原理》一書時，他完全采用綜合幾何證明的敘述形式，而幾乎沒有一點分析的計算。更為重要的是，牛頓的極限觀點像其他早期作者那樣，是采用幾何直觀的。例如他說，“弧、弦和切線任何兩個相互的最終比是等量的比”以及“逐漸消失的三角形的最終形式”的相似性等，就是如此。在《普遍的算術》（1707）中，牛頓甚至說：“方程是算術計算的表達式，它在幾何裏，除了表示真正幾何量（線，麵，立體，比例）間的相等關係以外，是沒有地位的。近來把乘、除和同類的計算法引入幾何，是輕率的而且是違反這一科學的基本原則的……因此這兩門科學不容混淆，近代人混淆了它們，就失去了簡單性，而這個簡單性正是幾何的一切優點所在。”[140]這些話使人們看到了一個作為矛盾綜合體的牛頓。
下麵我從數學認知的角度對牛頓微積分中的若幹核心概念和術語的生成作一些剖析。這些核心概念和術語是“瞬”（這使我們聯想到印度佛教中的“刹那”）“極限”（limit）“消失增量”等。在《運用無窮多項方程的分析學》小冊子中，牛頓假定有一條曲線，而且曲線下的麵積z已知是
其中m是整數或者分數。他把x的無限小的增量叫作x的“瞬”，並按數學家詹姆斯·格雷戈裏的記法，令橫坐標的瞬或無限小增量為o。如果采用費馬的符號E，牛頓的表示法相當於由曲線、x軸、y軸和x+o處的縱坐標圍成的麵積，他用z+oy表示，其中oy是麵積的瞬。則
運用二項式定理於右邊，當m是分數時，得到一個無窮級數，從②減去①，用o除方程的兩邊，略去含有o的項，就得到
y=maxm-1
因此，用現在的話來說就是，麵積在任意x點的變化率是曲線在x處的y值；反過來，如果曲線是y=maxm-1，那麽，在它的下麵的麵積就是z=axm。這就是牛頓表述的微積分基本定律。（見圖13-8）
圖13-8 牛頓計算曲線下麵積示意圖
在這裏，用來表示瞬的“o”，顯然不是被歸結為毫無意義的0的運算，即它不是費馬微分學中作為0的“E”（因而與印度數學家婆什迦羅的方式也有所不同）。用牛頓自己的話來說，o隻是一個具有流動性的“消失增量”。但是，在實際的推導過程中，它又是作為無限小的0而使用的。這個過程在馬克思看來，是一個類似於“暴力的鎮壓”或一次“政變”的過程，因為它武斷地去掉了含有o的項，盡管它後來的計算結果是正確的。這樣，在邏輯上就產生了一個矛盾：無窮小究竟是0還是非0呢？如果它是0，怎麽能用它去作除法呢？如果它不是0，又怎麽能把包含它的那些項去掉呢？顯然，牛頓關於o的概念是不夠清晰的。
從認知上來說，造成這種狀況的原因在於兩種不同數學方法或思維方式之間構成的內在矛盾。波耶說，算術觀念和幾何觀念的混雜，是牛頓和萊布尼茨工作中導致許多含糊不清的根源。但我認為這種矛盾還應包括感覺經驗與思維抽象、形象類比與邏輯推理等的方麵。一方麵，從感覺經驗、形象類比、算術計算來說，近代以來的一些數學概念的提出，如無窮小量，均與人類的經驗活動和感性材料有關。而短程測地學、航海學、日曆計算、天體預測、拋物體的運動以及透鏡設計等又需要大量的數量知識和計算方法。許多時候，人們需要突破傳統觀念的束縛，通過大膽的想象和類比，提出一些新的概念和想法來，其中包括通過一些想象來構造某些有用的“虛構物”，以解決現實中的難題。在這點上，牛頓保持了英國人經驗主義的研究傳統，並從經驗事物的類比中提出一些革命性的概念。例如，“瞬”的概念就與物體的加速度運動的類比有關，而“消失增量”“最初比與最終比”等，則是瞬時速度的“形象化”。這當中，算法的思想和形象化的認知方式無疑促成了這些概念的生成。此外，在解決問題方麵，算術計算具有實用的價值，是一種有效的方法，盡管邏輯上不見得都是那麽嚴謹的。
總之，對於17世紀以來的大多數人來說，嚴密性不是他們所關心的事情。因而，微積分的邏輯基礎工作在當時並沒有全部完成。人們的著重點在於創造能夠解決問題的有用的方法。正如皮卡（Emile Picard）所說的那樣：“如果牛頓和萊布尼茨知道了連續函數不一定可導，微積分將無以產生。”[150]的確，嚴謹的思想、邏輯的方法也可能阻礙創造。直到整個18世紀，數學家泰勒、歐拉、伯努力以及傅裏葉等人的工作，主要還是尋求有效的算法，而不是求得嚴格的邏輯證明；雖然其間充滿著爭論，但卻激發著思維的創造。到了19世紀，由於數學分析的算術化傾向（邏輯基礎的缺乏恰恰是因為人們試圖過多地采用幾何的方法而不是算術和代數方法造成的，這似乎是一個悖論），人們才進一步地看到，微積分的確還需要概念的邏輯基礎，先於一切直觀或分析的關於極限的概念，可以引進數學中而無損於邏輯的相容性。
[1] 〔法〕羅斑：《希臘思想和科學精神的起源》，陳修齋譯，北京，商務印書館，1965，第84頁。
[2] 梁宗巨：《數學曆史典故》，沈陽，遼寧教育出版社，1992，第204頁。
[3] 〔古希臘〕柏拉圖：《柏拉圖全集》（第三卷），王曉朝譯，北京，人民出版社，2003，第308頁。
[4] 〔美〕馬裏奧·利維奧：《φ的故事：解讀黃金比例》，劉軍譯，長春，長春出版社，2003，第83頁。
[5] 〔古希臘〕歐幾裏得：《幾何原本》，蘭紀正、朱恩寬譯，西安，陝西科學技術出版社，2003，第58頁。
[6] 〔古希臘〕歐幾裏得：《幾何原本》，蘭紀正、朱恩寬譯，西安，陝西科學技術出版社，2003，第102頁。
[7] 梁宗巨：《數學曆史典故》，沈陽，遼寧教育出版社，1992，第206頁。
[8] （清）江慎修：《河洛精蘊》，孫國中點校，北京，學苑出版社，1989，第189頁。
[9] 蔣謙：《試論“洛書勾股圖”中的類斐波那契數列》，載楊懷中主編：《科技文化與社會現代化研究》，武漢，武漢理工大學出版社，2004，第307～316頁。
[10] 北京大學哲學係中國哲學史教研室選注：《中國哲學史教學資料選輯》（上冊），北京，中華書局，1981，第178頁。
[11] 參見李樹菁：《周易象數通論》，商宏寬整理，北京，光明日報出版社，2004，第267頁。
[12] 當然，能否將“一分為二”表示為數學上的連分數，是可以討論的。我認為，從分形學的角度看，這樣表示也有其合理性。
[13] 路甬祥主編：《中國古代科學技術史綱》（數學卷），沈陽，遼寧教育出版社，2000，第366～373頁。
[14] 〔美〕T.帕帕斯：《數學趣聞集錦》（上），張遠南、張昶譯，上海，上海教育出版社，1998，第42頁。
[15] 參見蕭昌建：《黃金分割研究中的誤區》，載《成都大學學報》（自然科學版）1996年第4期；王汝發：《再談“中國古代數學中的‘黃金分割率’”——與蔣謙、李思孟先生商榷》，載《自然辯證法研究》2004年第7期。
[16] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第一冊），張理京、張錦炎譯，上海，上海科學技術出版社，1979，第57頁。
[17] 〔德〕開普勒：《世界的和諧》，載〔英〕斯蒂芬·霍金：《站在巨人的肩上》（下卷），張卜天等譯，沈陽，遼寧教育出版社，2004，第700頁。
[18] 19世紀中期，法國數學家雅克·菲麗普比內（1786～1856）又建立了一個重要的公式：
通過這個公式可以得到任何斐波那契數列的數值。見〔美〕馬裏奧·利維奧：《φ的故事：解讀黃金比例》，劉軍譯，長春，長春出版社，2003，第124頁。
[19] 梁宗巨：《數學曆史典故》，沈陽，遼寧教育出版社，1992，第205頁。
[20] 周持中：《斐波那契—盧卡斯序列及其應用》，長沙，湖南科學技術出版社，1993，第1頁。
[21] 〔美〕M.克萊因：《西方文化中的數學》，張祖貴譯，上海，複旦大學出版社，2004，第364頁。
[22] 劉式達等：《自然科學中的混沌和分形》，北京，北京大學出版社，2003，第65頁。
[23] 蔣謙、李思孟：《簡論中國古代數學中的“黃金分割率”》，載《自然辯證法研究》2003年第11期。
[24] “開方作法本源圖”運用籌算製進行數學排列，人們很難從中直觀地找到斐波那契數列。人們是通過帕斯卡三角形發現其中的斐波那契數列的。
[25] 可參見第七章第四節有關勾股定理發現與運用的相關討論。
[26] 〔德〕康德：《未來形而上學導論》，厐景仁譯，北京，商務印書館，1978，第8頁。
[27] 〔德〕伊曼努爾·康德：《純粹理性批判》，李秋零譯，北京，中國人民大學出版社，2004，第538～539頁。
[28] 〔美〕斯圖爾特·夏皮羅：《數學哲學——對數學的思考》，郝兆寬、楊睿之譯，上海，複旦大學出版社，2009，第22頁。
[29] 〔法〕列維-布留爾：《原始思維》，丁由譯，北京：商務印書館，1981，第177頁。
[30] 〔美〕魯道夫·阿恩海姆：《視覺思維》，滕守堯譯，北京，光明日報出版社，1987，第318頁。
[31] 〔英〕布賴恩·巴特沃思：《數學腦》，吳輝譯，上海，東方出版中心，2004，第208頁。
[32] 轉引自〔美〕M.克萊因：《數學：確定性的喪失》，李宏魁譯，長沙，湖南科學技術出版社，2007，第86頁。
[33] 恩格斯：《自然辯證法》，於光遠等譯編，北京，人民出版社，1984，第222頁。
[34] 轉引自馬克思：《數學手稿》，北京大學《數學手稿》編譯組編譯，北京，人民出版社，1975，第229頁。
[35] 〔美〕M.W.瓦托夫斯基：《科學思想的概念基礎——科學哲學導論》，範岱年譯，求實出版社，1982，第201頁。
[36] Sasaki Chikara：“What Are Revolutions in Mathematics？”，Peking University November，2005，15.
[37] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第一冊），張理京、張錦炎譯，上海，上海科學技術出版社，2002，第226頁。
[38] 轉引自〔英〕大衛·布魯爾：《知識與社會意象》，艾彥譯，北京，東方出版社，2001，第176～177頁。
[39] 轉引自〔美〕斯圖爾特·夏皮羅：《數學哲學——對數學的思考》，郝兆寬、楊睿之譯，上海，複旦大學出版社，2009，第201頁。
[40] 弗雷格指出：“算術定律是分析判斷，因而是先驗的。這樣，算術就會僅僅是一種擴展形式的邏輯，每個算術句子就會是一條邏輯定律，然而是一條導出的定律。把算術用於對自然的解釋，相當於對觀察的事實進行邏輯加工，計算就會成為推理。”見〔德〕G.弗雷格：《算術基礎》，王路譯，北京，商務印書館，1998，第105頁。
[41] 數學家阿爾貝爾·科法（1991）指出，19世紀以來哲學關注的重點不是康德關於時間與空間的直觀而是數學是經驗的（因而是後天的）和數學是分析的。見〔美〕斯圖爾特·夏皮羅：《數學哲學——對數學的思考》，郝兆寬、楊睿之譯，上海，複旦大學出版社，2009，第103頁。
[42] 轉引自林夏水：《數學哲學》，北京，商務印書館，2003，第313頁。
[43] 林夏水：《數學哲學》，北京，商務印書館，2003，第344頁。
[44] 吳文俊：《吳文俊文集》，濟南，山東教育出版社，1986，第6頁。
[45] 吳文俊：《吳文俊文集》，濟南，山東教育出版社，1986，第8頁。
[46] 恩格斯：《自然辯證法》，於光遠等譯編，北京，人民出版社，1984，第158頁。
[47] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第6頁。
[48] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第26頁。
[49] 北京大學哲學係外國哲學史教研室編譯：《古希臘羅馬哲學》，北京，商務印書館，1982，第57頁。
[50] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第32頁。
[51] 〔古希臘〕亞裏士多德：《物理學》，張竹明譯，北京，商務印書館，1982，第75～76頁。
[52] 〔古希臘〕亞裏士多德：《物理學》，張竹明譯，北京，商務印書館，1982，第87頁。
[53] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第43頁。
[54] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第一冊），張理京、張錦炎譯，上海，上海科學技術出版社，2002，第199頁。
[55] 〔美〕C.H.愛德華：《微積分發展史》，張鴻林譯，北京，北京出版社，1987，第22頁。
[56] 〔美〕C.H.愛德華：《微積分發展史》，張鴻林譯，北京，北京出版社，1987，第38頁。
[57] 葉蓓卿譯注：《列子》，北京，中華書局，2011，第115頁。
[58] 梅榮照先生指出，上述分割的結果是一個無窮小量，而它的分割次數是一個無窮大量。參見梅榮照：《墨經數理》，沈陽，遼寧教育出版社，2009，第113頁。還有學者指出，上述“萬世不竭”的命題實際上給出了中算史上第一個無窮小數列。參見劉逸：《極限理論的曆史分析》，載《自然辯證法研究》1992年第10期。
[59] 陳順清：《中國古代數學對微積分形成的貢獻》，載《四川文理學院學報》（自然科學版）2007年第2期。
[60] 李烈炎先生指出：“點”（端）雖然不可分割，但線段卻是可分割的。“點”就好比時間中的“此刻”（現在），“此刻”不可分，因而並非時間的一部分，時間不是由“此刻”無限相加所組成的。時間的連續性、持久性，靠的是運動。見李烈炎：《時空學說史》，武漢，湖北人民出版社，1988，第97頁。
[61] 〔英〕李約瑟：《中國科學技術史》（第三卷），北京，科學出版社，1978，第317頁。
[62] 《中國哲學史資料簡編》，北京，中華書局，1968，第34頁。
[63] 《中國哲學史資料簡編》，北京，中華書局，1968，第22頁。
[64] 杜石然：《數學·曆史·社會》，沈陽，遼寧教育出版社，2003，第23頁。
[65] 郭書春：《劉徽與先秦兩漢學者》，載《中國哲學史》1993年第2期。
[66] 〔俄〕舍爾巴茨基：《佛教邏輯》，宋立道、蘇曉煒譯，北京，商務印書館，1997，第125頁。
[67] 〔俄〕舍爾巴茨基：《佛教邏輯》，宋立道、蘇曉煒譯，北京，商務印書館，1997，第127頁。
[68] 參見〔英〕凱思：《印度邏輯和原子論》，宋立道譯，北京，中國社會科學出版社，2006，第210～220頁。
[69] 〔德〕奧斯瓦爾德·斯賓格勒：《西方的沒落》（第一卷），吳瓊譯，上海，上海三聯書店，2006，第171頁。
[70] 〔美〕羅伯特·卡普蘭：《零的曆史》，馮振傑、郝以磊、茹季月譯，北京，中信出版社，2005，第75頁。
[71] 亞裏士多德認為，“空白是一個碰巧沒有物體存在的地方”。這意思與印度的“sunya”含義相近，但是亞裏士多德又證明它是不存在的，因而根本放棄了這一概念。與之不同，柏拉圖表達空間使用的詞含有容器的意思；在希臘語中，“Theca”的意思就是一個容器。
[72] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第25頁。
[73] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第32～33頁。
[74] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第39頁。
[75] 〔美〕 C.H.愛德華：《微積分發展史》，張鴻林譯，北京，北京出版社，1987，第100～101頁。
[76] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學翻譯組譯，上海，上海師範大學出版社，1977，第286頁。
[77] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學翻譯組譯，上海，上海師範大學出版社，1977，第287頁。
[78] 同樣地，亞曆山大時期丟番圖的數學沒有發展出真正意義上的代數學，也沒有基本的算法特征。關於這一點，後世多有評論。其中，斯賓格勒認為，丟番圖並沒有創造代數學，他並不知道有零和負數，也沒有把數看作是事物的度量，因此他“不但沒有擴大數作為一種度量的觀念，反而（不明智地）消除了這一觀念”。見〔德〕奧斯瓦爾德·斯賓格勒：《西方的沒落》，吳瓊譯，上海，上海三聯書店，2006，第70～71頁。
[79] 〔古希臘〕亞裏士多德：《物理學》，張竹明譯，北京，商務印書館，1982，第17頁。
[80] 〔加〕羅伯特·洛根：《字母表效應——拚音文字與西方文明》，何道寬譯，上海，複旦大學出版社，2012，第116頁。
[81] 〔英〕李約瑟：《中國科學技術史》（第三卷），北京，科學出版社，1978，第117頁。
[82] 這裏，“麵”即無理數。無理數與十進位製關係密切。十進位製能夠有效地計算“不盡根數”。
[83] 郭書春譯注：《九章算術譯注》，上海，上海古籍出版社，2009，第41頁。
[84] 此圖及以下內容均引用王能超：《千古絕技“割圓術”》（武漢，華中理工大學出版社，2000）一書中的相關內容。
[85] 傅海倫、卞憲貞：《中西早期微積分思想及其比較》，載《曲阜師範大學學報》（自然科學版）2001年第2期。
[86] 郭書春先生認為，劉徽割圓術中“不可割”的思想與墨家“端”的思想有承襲關係。然而這一思想又是與其“微則無形”的思想是一致的。《莊子》說：“無形者，數之所不能分也。”見郭書春：《希臘與中國古代數學比較芻議》，載《自然辯證法研究》1988年第6期。
[87] 吳文俊：《吳文俊文集》，濟南，山東教育出版社，1986，第8頁。
[88] 〔英〕李約瑟：《中國科學技術史》（第三卷），北京，科學出版社，1978，第316頁。
[89] 郭書春：《劉徽與先秦兩漢學者》，載《中國哲學史》1993年第2期。
[90] 鄒大海：《劉徽的無限思想及其解釋》，載《自然科學史研究》1995年第1期。
[91] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第一冊），張理京、張錦炎譯，上海，上海科學技術出版社，1979，第211頁。
[92] 上述觀點均見燕學敏、華國棟：《中印兩國球積計算方法與微積分的發展》，載《自然辯證法通訊》2008年第2期。
[93] 吳文俊主編：《中國數學史大係》（副卷第一卷），北京，北京師範大學出版社，2004，第292頁。
[94] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第68～69頁。
[95] 在公元九世紀的印度數學家摩訶毗羅命名的許多的0中，有一個為“nabhas”，代表水蒸氣；另一個為“bindu”，本身則有小水滴的意思。這一點與中國古代“零”所表示的雨滴意思相近。
[96] 吳文俊主編：《中國數學史大係》（副卷第一卷），北京，北京師範大學出版社，2004，第366～367頁。
[97] 〔美〕卡普蘭：《零的曆史》，馮振傑等譯，北京，中信出版社，2005，第192頁。
[98] 轉引自〔加拿大〕洛根：《字母表效應：拚音文字與西方文明》，何道寬譯，上海，複旦大學出版社，2012，第115～116頁。
[99] 轉引自馬克思：《數學手稿》，北京大學《數學手稿》編譯組編譯，北京，人民出版社，1975，第220頁。
[100] 〔美〕 阿西莫夫：《數的趣談》，洪丕柱、周昌忠譯，上海，上海科學技術出版社，1980，第91頁。
[101] 李文林指出：“作為近代數學誕生標誌的解析幾何與微積分，從思想方法的淵源看都不能說是演繹傾向而不是算法傾向的產物。”參見李文林：《中國古代數學的發展及其影響》，載《中國科學院院刊》2005年第1期。
[102] 〔美〕D.普賴斯：《巴比倫以來的科學》，任元彪譯，石家莊，河北科學技術出版社，2002，第6頁。
[103] 〔印〕賈瓦哈拉爾·尼赫魯：《印度的發現》，齊文譯，北京，世界知識出版社，1956，第276頁。
[104] 〔美〕希提：《阿拉伯通史》（下冊），馬堅譯，北京，商務印書館，1990，第686頁。
[105] 參見Balai Chaki & P.K.Saha：“The Concept of Arithmetic Zero is the Origin of Calculus”，Rev.Bull.Calcutta Math.Soc，2011，19，No.1：115～120.
[106] 轉引自徐善偉：《東學西漸與西方文化的複興》，上海，上海人民出版社，2002，第79頁。
[107] 轉引自吳文俊主編：《中國數學史大係》（第二卷），北京，北京師範大學出版社，1998，第320～321頁。
[108] 轉引自吳文俊為朱清時、薑岩合著的《東方科學文化的複興》（北京科學技術出版社2004年版）一書寫的序言。
[109] 〔英〕李約瑟：《中國科學技術史》（第三卷），北京，科學出版社，1978，第117頁。
[110] 〔英〕李約瑟：《中國科學技術史》（第三卷），北京，科學出版社，1978，第324～328頁。
[111] 錢寶琮：《九章算術盈不足術流傳歐洲考》，載《科學》1927年第6期。
[112] 參見吳文俊為朱清時、薑岩合著的《東方科學文化的複興》一書所作的序。
[113] 杜瑞芝、楊淑輝：《薩瑪瓦爾的〈算術珍本〉與中國古代數學問題》，載《廣西民族學院學報》（自然科學版）2004年第4期。
[114] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第一冊），張理京、張錦炎譯，上海，上海科學技術出版社，1979，第290頁。
[115] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第19頁。
[116] 中國古代缺乏表達指數的有效方法，因此也無法寫出等比數列公式，隻能給出等比數列求第n項的算例。
[117] 自柏拉圖以後，“解析”一詞指的是，從所要證明的結論開始，往回做去，直到達到一些已知的東西為止。但是，“解析”一詞被韋達、笛卡爾用來描述代數應用幾何作圖等方麵的情形，其原意是用代數來分析幾何作圖問題。至18世紀，在著名的《百科全書》（Encyclopédie）中，數學家d’Alembert把“代數”和“解析”當作同義詞用。進一步地，通過歐拉、拉格朗日等的工作，“解析幾何”一詞含有證明和使用代數方法的意思，可與“綜合幾何”相提並論。不再被認為，一個是發明的手段，而另一個是證明的方法。應當說，兩者都是演繹的。參見M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第25～26頁。
[119] 上海師範大學等選編：《歐洲哲學史原著選編》，福州，福建人民出版社，1985，第379～380頁。
[120] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第15頁。
[121] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第24頁。
[122] 〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第24頁。
[123] 參見尹大貽：《庫薩的尼古拉》，載鍾宇人、餘麗嫦編：《西方著名哲學家評傳》（第三卷），濟南，山東人民出版社，1984。
[124] 〔意〕布魯諾：《論原因、本原與太一》，湯俠聲譯，北京，商務印書館，1984，第117頁。
[125] 〔德〕奧斯瓦爾德·斯賓格勒：《西方的沒落》，吳瓊譯，上海，上海三聯書店，2006，第69頁。
[126] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第100頁。
[127] M.克萊因指出，萊布尼茨直接用x和y的無窮小增量（即微分）來求出它們之間的關係，這體現出他的哲學的某些方麵。他的哲學著眼於物質的最終微粒，而這些微粒，萊布尼茨稱之為“單子”。波耶也說：“科學家牛頓，在速度觀念中找到了在他看來很滿意的基礎；而哲學家萊布尼茨……則寧可從微分——在他哲學體係中起極大作用的單子在思維中的對應物——中去尋找這個基礎。”見〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第226頁。如果這個觀點成立，那麽我們就可以進一步在萊布尼茨的單子論與中國古典哲學的相互關聯中尋找來源性的解釋。但這種解釋不是輕易就可以作出的。
[128] Sasaki Chikara：“What Are Revolutions in Mathematics？”Peking University，November，2005.15.
[129] Judith V.Grabiner：“Is Mathematcal Truth Time-Dependent？”，The American Mathematical Monthly，Vol.81，No.4.Apr.，1974，pp.354～365.
[130] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第83頁。
[131] 〔德〕萊布尼茨：《人類理智新論》（上冊），陳修齋譯，北京，商務印書館，1982，第138～139頁。
[132] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第109頁。
[133] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第136頁。
[135] 恩格斯：《自然辯證法》，於光遠等譯編，北京，人民出版社，1984，第164頁。
[136] 有趣的是，沃利斯工作所受的主要啟發卻來自托裏拆利詳細加注的卡瓦列裏的不可分量的幾何方法。
[137] 李文林指出，插值算法在微積分的醞釀過程中扮演過重要角色。在中國，從東漢時期起，學者們就慣用插值法來推算日月五星的運動。起初是簡單的一次內插法，隋唐時期則出現二次內插法（如一行的《大衍曆》，公元727年）；到宋元時期，便產生了三次內插法（如郭守敬的《授時曆》，1280年）。在此基礎上，數學家朱世傑創造出一般高次內插公式，即他所說的“招差術”。見李文林：《中國古代數學的發展及其影響》，載《中國科學院院刊》2005年第1期。
[138] 〔德〕奧斯瓦爾德·斯賓格勒：《西方的沒落》，吳瓊譯，上海，上海三聯書店，2006，第75頁。斯賓格勒還認為，代數運算過程實質上是列等式的過程，而不是度量的過程。同樣的，幾何學也在改變；坐標係作為圖像化的過程消失了，點成了一個完全抽象的數群。隻有當“無窮小量”轉向“任何可能的確定量的最低極限”時，才會產生出在任何非零的可指定數的下麵擺動的變數的概念。這種變數不再具有任何量的特征，即所表達的極限不再是對某一數值的趨近，而其本身就是趨近，就是過程，就是運算。所以，極限不是一種狀態，而是一種關係。見該書第84頁。
[139] 〔美〕C.H.愛德華：《微積分發展史》，張鴻林譯，北京，北京出版社，1987，第226頁。
[140] 轉引自〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第19頁。
[141] 〔英〕牛頓：《自然哲學之數學原理》，載〔英〕斯蒂芬·霍金編：《站在巨人的肩上》（下），張卜天等譯，沈陽，遼寧教育出版社，2004，第837頁。
[142] 轉引自〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第65頁。
[143] 〔美〕卡爾·B.波耶：《微積分概念史》，上海師範大學數學係翻譯組譯，上海，上海人民出版社，1977，第110頁。
[144] 馬克思：《數學手稿》，北京大學《數學手稿》編譯組編譯，北京，人民出版社，1975，第85頁。
[145] 萊布尼茨說，我們“假定消失量dy和dx的比等於（d）y和（d）x的比，而這個假定永遠能歸結到一個不容懷疑的真理”。轉引自〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第102頁。
[147] 馬克思：《數學手稿》，北京大學《數學手稿》編譯組編譯，北京，人民出版社，1975，第212頁。
[148] “就在1797年這樣的年代裏，拉格朗日在他的《解析函數論》中說，微積分及其以後的發展隻是初等代數的一個推廣。因為代數和解析是同義詞，所以微積分也叫作解析。”見〔美〕M.克萊因：《古今數學思想》（第二冊），上海，上海科學技術出版社，1979，第26頁。
[149] 馬克思：《數學手稿》，北京大學《數學手稿》編譯組編譯，北京，人民出版社，1975，第59頁。
[150] 〔美〕M.克萊因：《數學：確定性的喪失》，李宏魁譯，長沙，湖南科學技術出版社，2004，第175頁。