有關黃金分割率的發現，在流行的科學史或數學史教科書中通常會有如下的記載。
古希臘時期的數學家、哲學家畢達哥拉斯及其弟子最早發現了黃金分割的秘密。他們在研究數學時，常常把“數”看成沙子或小石子，並用它們進行各式各樣的數字排列。例如，1，3，6，10這些數叫三角形數，因為相應的數目能排列成正三角形；1，4，9，16，等等，這些數則被稱為正方形數，因為用石子表示時可把它們排成正方形。畢達哥拉斯學派還搞多角形數，如正五邊形數、正六邊形數和其他多邊形數。研究表明，畢達哥拉斯學派研究過若幹正多麵體，尤其是正四麵體和正十二麵體。後一圖形切開一半可成為兩個五邊形，再分成同樣的六個五邊形。這樣，他們從中得出那有名的五角星形標記[1]，並從中發現“中末比”（黃金分割）。
另一個對黃金分割的發現有重要貢獻的人，據說是古希臘數學家歐多克斯。他曾就學於柏拉圖學園。他在數學方麵的最大貢獻是創立了比例論。同時他也係統地研究過中末比問題。據說，他通過數值計算求得中末比的值，但由於其著作已失傳而無法確證。學界有人認為，有關歐多克斯的一些結論隻能說是一種推測。[2]
倒是古希臘大哲學家柏拉圖通過對“五種多麵體”（亦稱柏拉圖體）的係統研究，使我們更多地看到黃金分割與正五邊形（正十邊形）的內在聯係。（見圖13-1）並且，他將五種正多麵體上升到宇宙起源和哲學高度來認識。他說：“十二麵體是被神用來界定宇宙的輪廓。”[3]在這些正多麵體中，二十麵體和十二麵體與中末比的關係最為密切：十二麵體中的正五邊形可形成正五角星形；二十麵體的十二個頂點，以四個一組，分為三組，若使每組的頂點在黃金長方形的各個角上，那麽這些長方形是相互垂直的，它們的相交點是二十麵體的中心。數學史家推測：“古希臘人對黃金比例的興趣可能開始於製作這些平麵圖形和立體圖形。”[4]
圖13-1 五種多麵體（柏拉圖體）
現在可以確知的是，第一個給出中末比線段證明的數學家是歐幾裏得。歐幾裏得對中末比線段以及中末比與正五邊形、正十邊形、正十二麵體、正二十麵體的相互關係進行了周密的推演和證明。在《幾何原本》中，通常認為該書的第二卷第11命題是對中末比線段的證明，即“分已知線段，使它和一條小線段所構成的矩形等於另一小段上的正方形”[5]。我們還注意到，這個命題中隻是間接地提到中末比。正式提出中末比的地方則是第六卷第30命題：“分已知線段成中末比。”此外，《幾何原本》中很多地方有著中末比與正五邊形、正多麵體相互關係的推演證明，即大量的應用中末比於幾何命題的證明。如第四卷第10命題：“求作一個等腰三角形，使它的底角的每一個都是頂角的二倍。”[6]也就是做出36°及72°角，從而能做出正五邊形及正十邊形。該卷中的多次幾何論證都涉及正五邊形。在第八卷論證十二麵體及二十麵體時，也大量地運用五邊形原理和中末比。
亞曆山大時期的大天文學家托勒密在其名著《天文學大成》一書中，給出了極為簡單的正五邊形作圖法，論證了圓內接正五邊、六邊、十邊形邊長的關係。[7]（見圖13-2）類似這種運用正五邊形和中末比方法於天文學研究的，還見諸後來的天文學家哥白尼的《天體運行論》著作當中。
圖13-2 等邊且等角的圓內接五邊形
當我們把目光轉向東方時，與希臘人同時甚至更早的時期，東方人實際上已經發現並在實踐中具體地應用黃金分割率了。我在對中國古代黃金分割率的研究中注意到，中國古代數學已經蘊藏著豐富的黃金分割“金礦”。茲舉以下四個方麵。
（一）“河圖”中的黃金分割。清代著名易學家江慎修（1681～1762）在其《河洛精蘊》一書的卷六中明確指出：“理分中末線出河圖中宮。”“中末線”即中末比。他將“河圖”中宮十數為股，五數為勾，然後各自自乘，再開方得弦，即求得黃金分割值。為此，江慎修不無自豪地說：“西人秘惜其法，謂此線為神分線，豈知神奇即在目前！”[8]
（二）“洛書”中的廣義斐波那契數列。早在漢代，易學家即將九宮數與八卦相配。至北宋時期，道教學家、易學家將十數圖、九數圖（九宮圖）與“河圖”“洛書”聯係起來。其後，洛書又與古算中的勾股圖聯係起來。這方麵的研究最早可追溯到朱熹等人那裏。清代易學家李光地（1642～1718）對此做進一步發揮。我依洛書勾股圖式的成數原理，得出洛書勾股圖中的廣義斐波那契數列或數陣。此數陣每一行都是一個序列，其中第一個序列部分地構成一個中間隔一個數字的斐波那契數列（因斐波那契數列中前一位數與後第二位數之比即為“0.382”），其他序列則構成隔一位數字的廣義斐波那契數列；每一序列相鄰兩數的比值交替大於或小於黃金分割值0.382（盡管不是無限趨近的），即0.375，0.388，0.380；雖然三個數值隻是近似值，但三個數值取小數點後7位數的平均值則為0.3816137。[9]
這個連分數分開來表示後，便形成一個斐波那契數列。[12]
（四）“賈憲三角形”中的斐波那契數列。生活在與賈憲年代相差不遠的哲學家程頤著有《易程傳》。有學者對其中的64卦按所含陽爻數目的多少進行分類。其結果正好是古代數學家楊輝記錄的賈憲三角形的最後一層的數據。再對其中按陽爻數目進行組合分類的排列進行統計，又可發現這個分布圖與賈憲三角形十分相合。也就是說，從64卦的分布，可以導出一個賈憲三角形。[13]當然，數學上已經證明，賈憲三角形（西方稱“帕斯卡三角形”）蘊含有斐波那契數列。[14]（見圖13-3）
圖13-3 帕斯卡（賈憲）三角形中的斐波那契數列
對於中國古代數學中蘊含的黃金分割率，有人或可認為其是後人計算和推導的結果，是一種“暗合”，因為古人可能並沒有意識到這一點。對此我想指出的是，東方尤其是中國古代早期數學在發現黃金分割率的途徑和表征方式上有其獨特性。
我認為，上述觀點割裂了數學分支學科之間的內在聯係，忽視了黃金分割作為數學本體所具有的豐富內涵。事實上，黃金分割問題的研究與發現始終是一個不斷被發現的過程。除了前述的數學家在黃金分割發現方麵所做的工作之外，還有不少數學家甚至天文學家也做出了實質性的貢獻。例如，被稱為“天空立法者”的近代德國著名天文學家開普勒在研究五種正多麵體的過程中就獨立地發現了類似“斐波那契數列”的數列。他說：“也有一些比例無法用整數來表示，而隻能通過一長串整數逐漸逼近。如果這一比例是完美的，它就被稱為神聖的，並且自始至終都以各種方式規定著十二麵體的結合。因此，以下這些和諧比例1∶2，2∶3，3∶5，5∶8是導向這一比例的開始。”[17]這也就是說，這些數列如果無限發展下去，它的比值就將接近黃金分割數值。由於對這一數列的高度重視，開普勒將中末比稱為“神聖比例”或“比例分割”。在開普勒大約一百年以後，蘇格蘭數學家羅伯特辛森進一步證實了斐波那契數列與黃金分割的關係（盡管是不完全的）。對於斐波那契數列中每個數都等於前兩位數之和的通性，數學家阿爾伯特·吉拉爾在1634年將其表達為Fn+2=Fn+1+Fn關係式。[18]到了18世紀，最早正式在書中使用“黃金分割”這個名稱的是數學家歐姆（Martin Ohm）。他在其《純粹初等數學》一書中使用了“黃金分割”。但他在此書的第一版用的卻是“連續比例”。[19]還特別值得一提的是，數學家盧卡斯在斐波那契數列基礎上構造了“廣義的斐波那契數列”或“盧卡斯數列”。該數列（1，3，4，7，11，18…）的一個重要性質是相鄰兩數的比值大小交替地無限趨近於黃金分割數。現在，盧卡斯數列（序列）與斐波那契數列（序列）合並被稱為“F-L序列”。它幾乎滲透到數學的各個分支，如數論、代數、組合與圖論、計算機科學、微分、差分方程、數值分析、運籌學、概率統計、函數論、幾何學等領域，顯示出強大的生命力。[20]例如已證明，帕斯卡三角形（或“賈憲三角形”）與概率的內在聯係。[21]在非線性科學中，非線性耦合條件最喜歡的鎖相頻率與法拉裏序列有關。而法拉裏序列數中的分子和分母恰好就是斐波那契數列。[22]這些都說明，黃金分割的表征形式是多種多樣的。
在早期數學中，黃金分割率至少有兩種表征形式。一為幾何的，二為算術和代數的。就後者而言，這種數學方法最早或最容易觸及無理數。而在無理數當中，黃金分割數是“最無理”的。這實際上在昭示人們，那些最早接觸到無理數的民族有可能是最早接觸到黃金分割數值的民族。或者，這些民族的數學中已經內在地蘊含有黃金分割率。[23]當然，由於計算方法和計算手段的限製（如中國古代的籌算體係的限製），當時的人們難以通過大量的計算活動來發現數值計算中的某些規律或規則[24]；即使發現了某些規律性的東西，對於以實用為目的古代數學來說，似乎也沒有多大的用處。這也妨礙了以算術和代數為主要形式的中國古代數學對黃金分割問題的研究與發現。另一方麵，由於無理數的概念並不是經驗事實的直接反映，也不是當時的計算容易得出來的，而理論推導卻提供了便利的手段。因此，古希臘數學家建立的公理演繹體係就充分地發揮作用了。在他們那裏，用證明的方法通過作圖在數軸上可以簡單地確定無理數的位置。這就是使無理數成為與直線上的單位線段具有不可通約的長度的量；由於無理數概念的前提是有理數，若要判斷某一數是否為無理數，隻要證明該數不是有理數即可。這說明，在發現和證明黃金分割率方麵，東西方數學方法各有所長。
通過對以上個案的分析可以看出，東西方數學在黃金分割的發現（與證明）的數學方法上分別呈現出“算”與“演”的各自偏向。現在一般認為，東方（中國）古代數學是以算法為中心，以解決實際問題為目的，具有數值化、機械化和實用性等特點的數學體係；古希臘以降的西方古典數學則是以幾何證題為中心，在係統的公理化體係基礎之上，以嚴密的邏輯推演為其特點的數學體係。這兩種知識體係和數學方法（即計算與演繹），可以看作是一塊“金幣”的兩麵。這在前麵章節已有論述。[25]在此我想要強調的是，這兩種數學知識體係和數學方法分別與不同的認知方式有關。如果上升到哲學的高度來看，它們可能分別代表著兩種“先驗感性形式”、兩種不同的認識路線和本體論承諾。下麵，我略作一些分析和評論。
前文中，我曾引用康德的觀點。這個觀點認為，空間和時間是人類感性直觀的兩種形式，是純粹數學的一切知識和判斷的基礎。它們分別對應於幾何與算學（算術）。但康德強調說，這兩種形式是“純直觀”的，是先於一切經驗的東西；當從物體的經驗的直觀中去掉一切經驗的東西後，剩下的就是這種所謂純直觀的或感性形式的東西了。在這裏，我們要問的是，為什麽純粹數學需要這樣兩種形式，為什麽這兩種形式的代表分別是幾何與算學。康德的回答是，純粹數學隻能在純直觀中建立起來；在那裏，不僅概念構造得以進行，而且純直觀可以為先驗綜合判斷提供質料。例如，兩個圖形是否全等（其中一個完全能夠放在另一個的位置上），不是通過概念分析推論出來的，而是通過純直觀的“綜合”而得來的（這個純直觀提供的整體空間絕不能多於三維）。這種純直觀使綜合的數學命題成為可能。由於空間不是別的，隻是一切外在現象的形式，而這種形式隻有通過純直觀的方式才能把握；因此，由感性直觀所通達的東西隻能是幾何學所規定的東西。[26]換句話說，幾何學就是有關空間形式或空間直觀形式的科學。在這個空間形式中，幾何命題是必然有效的。
我認為，康德有關人類感性形式中純直觀與幾何的關係的論斷，是極富啟發性的。這一觀點不僅從數學中概括或引出空間範疇形式，而且找到了這一範疇形式與人類認知活動的關係；如果沒有對一般數學特別是幾何的深刻理解，是做不到這一點的。誠如他所言，幾何空間涉及的是感官對象的“樣式的表象”“外在現象的形式”等方麵，而不是物自體本身。它們都構成數學概念生成和推演證明的基礎。當然，康德的理解和論證不是沒有問題的。這主要表現在他對“直觀”的理解與界定上。按康德的說法，直觀是與感性知覺相聯係的，不論直觀多麽純粹，它總是含有感性知覺的成分在內。因此，人們可以在表象中設想一條直線延長到不限定的或者把一連串的變化延續到無限，但實際上，直觀的對象總是單個的。雖然我們可以理所當然地“直觀”到兩條平行的直線可以無限地延伸下去，但在知覺和表象的實際狀況和條件下，兩條平行線，如鐵軌，看上去似乎是相交在某一個平麵（地平線）的點上的。也就是說，感性知覺形式並沒有構成歐氏空間的基礎，至少不是唯一的基礎。因此可以肯定，康德的空間感性形式並不完全是直觀的結果，其中已經蘊含了概念性的構造，或其他觀念性的東西。他的直觀至多隻能算作理智的直觀或“心靈之眼”的直觀。所以，“構造一個概念，也就是先天地展示與該概念相應的直觀。因此，一個概念的構造需要一種非經驗的直觀，這種直觀因此作為直觀是一個單個的客體，但盡管如此作為一個概念（一個普遍的表象）的構造卻必須在表象中表達屬於同一個概念的一切可能直觀的普遍有效性”[27]。這裏說的“單個的個體”就是幾何命題證明中畫在紙上的圖以及相應的輔助線。雖然直觀跟隨在這些圖形及輔助線的解釋中，但任何圖形（如紙上所畫三角形）都不等於一個概念性的圖形（如三角形）；心靈所專注的隻是那些概念性的行動或者表象中的普遍性的東西。既然如此，又何必將“概念”與“直觀”，“先天性”與“經驗性”等如此緊密地纏繞在一起呢。我同意美國數學哲學家斯圖爾特·夏皮羅（Stewart Shapiro）的如下觀點：“康德的觀點可能錯在把先天性和必然性這樣一些困難的問題和費解的概念換成了涉及直觀的更困難的問題。”[28]
另一方麵，康德認為算學是表征時間範疇的，又是綜合的，應當說，是有依據的。因為計算活動是在時間裏把單位一個又一個地加起來或進行其他運算而產生的。簡單地說，計算活動需要在時間中進行。美中不足的是，上述觀點將時間概念的生成看作是內感官或直覺的產物，切斷了時間與感性經驗的直接聯係。至於綜合，7+5=12這個命題就是綜合命題。先取7這個數，然後通過五個指頭與五個單位獲得一種直觀，並借助手指的形象，再把五個單位逐一加到7的概念上，最後得到12這個數。這當中，兩個數之和擴大了我們的概念。因為它在7+5這個概念裏增加了一個原先沒有想到的概念——12。在這個意義上說算學是綜合的，是有理論根據的。但是與處理空間和幾何的關係一樣，盡管康德意識到算術與幾何的區別（如他認為不存在算術論證，而歐氏幾何有“證明”），但他依然從先驗感性形式出發，堅持認為算術命題是依據類似於空間形式的時間形式而作出的“先驗綜合判斷”。也就是說，算學的綜合命題並沒有與人的感性活動和經驗世界有更多關聯。果真如此嗎？細致的分析不難發現，康德的兩種直觀形式的確立雖然分別取材於幾何與算術，但卻是以幾何尤其是歐氏幾何為“模板”來看待算術的，或者說他忽略了算術的基本性質與功用（指認知方麵），而把依據幾何命題形式對直觀的理解簡單地推廣到對算術的直觀的理解方麵。例如，他簡單地認為，算術命題也是按照主謂判斷的形式構造的。
如果我們真正從算術認知的起源及其基本特性出發，就會看到算術與幾何之間的諸多不同方麵。其中一個方麵就是它與人的感性活動和經驗世界有更多的關聯；其中視知覺作用特別突出。人類學家列維-布留爾以自己對原始民族的觀察結果為例，指出：“數是在性質上被感知的，或者說被感覺到的。”[29]心理學家魯道夫·阿恩海姆根據自己的研究證明：“數字是一種知覺實體或一種視覺對象。”[30]與被感知的事物（個體的集合）常常是不分離的。同時，數（數量關係）最初又表現為“身體數”。例如，最早的“數”通常都是5，10或20為一組，這顯然與早期人類以雙手、雙趾稱數和計數有關。關於這一點，發展心理學研究表明，在兒童計數活動中，常常是以手掌為計算工具的。數學史家們還發現，在印歐語係中，“五”和“手指”這兩個詞具有相同的詞源；在英語中，“digit”（數字）也可以指一隻手或腳趾。[31]同樣，計算活動最初也不是根據定義和推理而來的，它是從感性活動甚至是從直覺中獲得結果的。例如，人們根據“身體數”來數數時，實際上已經有了“加法構成”的原則，即把這些數看作是一個集合，一個整體。
經驗主義主義者提供了有關數字、數量以及算術的某種性質的哲學分析。例如，英國邏輯學家、經驗主義者J.穆勒（J.Mill）曾談到算術的感官經驗的來源。他說，可以通過向我們的眼睛和手指表明，一定數量的任何對象，比如說十個球，雖然可能由於分離和重新排列，向我們的感官展示出所有各種不同的數目組，但其總和仍然等於十。他認為，算術命題和定義不是邏輯學意義上的；它們不僅確定了一個表達式的意謂，而且也因此斷定了一個觀察到的事實；計算不是從定義本身，而是從觀察的事實得出來的。其中，簡單的加法，從我們一開始與世界打交道時就被確證了，它不可能是什麽“先天”的東西。物理學家、數學家赫爾姆霍茨也說得明白，隻有經驗能告訴我們算術的法則在哪裏，是某些經驗啟發了通常類型的數、整數、分數和無理數及其性質。[32]還是“自然辯證法大師”恩格斯對此有深刻的理解。恩格斯很早將“經驗論”與用“數學計算的形式來思維”聯係在一起。[33]他說：“數學演算適合於物質的證明，適合於檢驗，因為它們是建立在物質直觀（盡管是抽象的）的基礎上的；而純邏輯演算隻適合於推理證明，因此沒有數學演算所具有的實證的可靠性——而且其中許多還是錯誤的。”[34]這裏，恩格斯將“數學演算”與“邏輯演算”作了嚴格的區別，其含義是深刻的。
我的理解是，物體基本上是幾何的形象，運動物體的路線則是曲線。雖然兩者均來源於事物（現象），但前者側重於空間形式方麵，並且是相對靜止的，是易於為理智的抽象把握的東西；後者則易於導出數量知識。因為數量的計算反映著事物的運動變化，而變化著的事物（現象）一方麵蘊含時間的屬性，另一方麵顯現事物間的相互關係；隻有那些最易於反映和表征這些屬性和關係的心智係統和範疇係統才能真正把握變化著的對象。顯然，與感性經驗保持較短距離的數量關係形式、算術或算學方法，能夠做到這一點。也就是說，“就算術是對事實的一種表示而言，我們關於數的普遍直觀以及在計算、排列次序和收集事物方麵的經驗是算術的基礎；從我們根據世界上實在的運算來解釋算術符號這個意義上來說，算術肯定是事實的一種表示”[35]。這樣，從具體計算方法到一般算法的形成，不僅標誌著數學知識的積累，而且反映著主觀與客觀的統一，即算術還提供一種檢驗認識的方式。它通過對經驗事物實際數量關係的計算或演算求得經驗事物與主觀推斷是否一致的計算結果。日本學者佐佐木力（Sasaki Chikara）基於近代計算數學的發展，認為近代數學實際上是伴隨著所謂“準經驗”（quasi-empirical）的增長而產生的。由於經驗計算的可變性，這種數學也是一種“時間依賴”的數學，它是數學發生革命的前提之一。[36]
在當代，不少數學史家和數學家注意到幾何與算術的上述基本區別。例如，數學史家M.克萊因認為：“幾何是講究演繹的，而算術和代數則可以依據經驗或直觀啟示。”[37]數學史家雅各布·克萊因（Jacob Klein，1968）在他的《希臘數學思想和算術的起源》中指出，古代的數的概念和現代的數的概念之間是有差異的。對於古人來說，數始終是一個有關此物或者彼物的數；它始終是某種明智的量，始終指涉一組存在物。[38]數學家哥德爾在1944年的論文中也指出，初等算術的那些基本等式和不等式，有一種“無可爭議的顯然性可以最貼切地比擬於感性知覺”[39]。注意，這裏講到的算術的經驗性和算術直觀是從算術或計算活動（量的關係）的認知起源意義上來談論的，更多地是指初等算術。也就是說，我們談論的計算活動或量的直觀僅僅限於一些初級的算術活動範圍以內；那種超出此範圍以外的數量巨大的數量關係和複雜計算活動則不在此列舉中。因此，像邏輯學家弗雷格那樣依據超越直觀的數量關係，將算術命題看作是分析性的觀點，是將算術命題形式化或將計算活動邏輯化的結果。這種關係類似於早期的算術活動與早期數論的關係。[40]
如果我們承認幾何因其概念性的強調以及對推理證明的重視而傾向於邏輯的方麵，算術和計算活動因其對感性經驗的強調而傾向於經驗的方麵，那麽，幾何與算術的關係不僅指空間與時間兩種形式和範疇，而且指涉邏輯與經驗的關係，因而可能觸及數學的本質方麵。[41]正如著名數學家柯朗（R.Courant）所說：“一般與個別、演繹與結構、邏輯與想象之間的相互作用，是活數學的深刻本質。一般地說，這樣一種發展，要從‘具體的’基礎出發，然後經過抽象拋棄砂石之類的壓艙物，升向易於航行和觀測的空氣稀薄的高層；在飛行中接著會出現決定性的試驗，以便抵達特定目標：從新的角度來俯瞰由個別‘實在’所形成的原野。簡單地說，進入抽象性的一般性的飛行，必須從具體和特定的事物出發，並且又返回到具體和特定的事物。”[42]確實，除了那些數學本體論中的柏拉圖主義者，許多數學家和數學哲學家通常會同意這樣的觀點：不論數學概念和演算多麽抽象，它們總是與實在保持著某種或近或遠的距離。數學作為一種認知活動和思維創造活動從根源上來說總是與外部經驗保持這樣或那樣的聯係，並能對其進行實在論的分析。大體上來說，這種分析不外乎外部實在的“形”和“量”兩個方麵。而且也隻有在感性經驗中人們才能獲得外部實在的各種數量關係和空間形式。隻是到後來，隨著對這些關係和形式進行概括與抽象，人們才獲得了數量關係和空間形式的各種質的規定性，並進而將這些規定性以符號的方式固定下來，使之成為一種遠離外部實在的形式化係統。然而，不管這種數學與外部實在的距離相隔有多遠，它與經驗或外部實在的關係從根源上說，是無法割斷的。由此不難理解，在數學史上，首先形成的是算法思想。這種數學直接源於人們的實踐活動。正如林夏水先生所說：“一般說來，凡是算法思想占據主導地位時，數學研究著重於解決社會實踐提出的數學問題，開辟新領域，積累新的經驗知識；凡是公理法思想占據主導地位時，數學研究著重研究如何把數學的經驗知識上升為理論知識（公理係統），以及從邏輯上解決數學自身的理論問題。”[43]